網格自動生成

在連續的物理系統中，如在飛機周圍的氣流，水壩上水對水壩的集中壓力，集成電路中電子的電場，或是在化學反應中的反應物的濃度等，都是需要應用偏微分方程來模擬的。想要在計算機上模擬這些系統，這些連續的方程需要首先離散化，結果產生一組由有限個離散點組成的空間或平面包括對應的時間序列，在這些點上，我們才可以分別對所要研究的變量，如電壓，密度，和電場等進行計算。離散化的通常方法有有限差分，有限體積和有限元方法，這些方法通過相鄰的點來計算出變量的導數。這些計算需要基於一定的網格來實現，所以網格的概念也就隨之產生。

隨着網格應用的不斷廣泛和深入，人們就自然而然產生了一種動機，要去實現和改進自動化網格生成算法。在起初的時候，應用有限元方法的人們用幾十或是幾百個網格單元來模擬一個很大的簡化了的規則區域，他們己經感到很滿意了。要把一塊區域人工的劃分成一系列有用的網格單元，這樣的預處理工作非常的艱辛。而人們只需要點一下按鈕，就可以通過軟件來輕鬆的自動生成複雜的網格，這些網格包含了成千上萬的網格單元，而不需要任何繁瑣的預處理工作。 ^[1] 

根據網格的連接關係來區分，主要有兩大類結構化網格和非結構化網格。

結構化網格主要是指對每一個網格節點，其對鄰接的其他節點的連接數是一定的或有規則的對一些網格，可能會有一線部分節點與其他節點的連接數是不同的。

非結構化網格是指的每一個網格節電與其他節點的連接關係是不確定的或不規則的。

圖1給出了一個着兩種不同形式的網格的一個簡單例子。在有些情況下，整個網格的一部分可以是結構化的，而另一部分又是非結構化的譬如在河道流域中，邊界上的網格是結構化的而流域內部是非結構化的。 ^[1] 

所謂結構化網格是指，它的網格所有節點的連接關係是規則的。例如，網格中的所有網格點能夠通過索引方便的查找和確定(在二維中通過兩個索引確定，三維中則是三個索引)。每個網格點的鄰接點能夠方便的同過索引計算出來，而不是去一一查找（例如，網格點

的鄰接點就是

等等）。在規則的矩形區域上的網格生成雖然簡單，但其價值不大，規則的網格生成技術主要專注於對不規則的邊界區域進行網格化，例如，血管中血的流向，或者血管得變形，金屬中熱量的傳導等等。通常網格的生成必須符合它的邊界，用某一面座標來形成（部分）網格邊界。這種方法在邊界處可以提供精確的結果，速度也很快。對於流體研究中，這種網格可以作為波動模型的很好應用，因為流體研究中往往需要網格要和區域的邊界很好的吻合起來。另外一種選擇便是應用一個簡單的矩形網格作為基礎，在區域的邊界處通過網格裁剪，使其符合邊界的要求，然後對那些邊界上不夠理想的網格再用局部的修飾，從而得到我們的最終結果（笛卡爾網格）。這種方法在區域的邊界處打斷了網格的順序，還要刪除一些網格單元，這些都增加了網格生成算法的複雜度。迪卡爾網格的生成速度是很快的，在空氣動力學中應用較多。但似乎不適用於 Navier-Stokes空氣動力學。

生成區域邊界固定網格的最常用方法是需要產生一個連續的，並在邊界上完全符合的網格。也就是要找到一種方法，把一組連續毗鄰的矩形可計算區域通過曲線邊界映射到一個實際的物理區域如圖2。

如果希望不添加任何額外不規則的偏斜網格，又能用一個映射關係把一個規則的矩形可計算網格映射到一個複雜的區域上，這幾乎是非常困難的。為了要繞開這個問題，要把區域分成羅幹個子區域，對每個區域再進行網格劃分。在子區域與子區域的結合處，網格的連接必須要連續的。這就是多分塊網格的主要思想。對於區域的分解，一般都通過工具手工完成，雖然這比較慢。

另外一種用多化分塊思想來生成連續的邊界擬合網格的方法是，在邊界區域上，我們用固定邊界的網格生成法，在區域的內部用規則的矩形網格，在兩種網格較叉的區域，我們通過插值方法來使網格點相匹配。這樣生成的網格叫Chimera網格。

Chimera網格對於移動的邊界（例如，在直升機機翼葉片中）或多條邊界混合（流動中的粒子）非常有用。因為這樣網格的絕大部分網格單元始終都是固定的，而只有邊界上通過插值的網格單元是隨着邊界的變化而變化的。Chimera網格卻是有其獨特的優點，最近守恆插值方法的發展又增加了它的有用性。但是，一大批的結構化網格生成方法都是基於區域分塊化思想，故下面主要是討論這一思想方法的應用。 ^[1] 

1973年Gardon 和 Hall ^[2]  在多變量概念的基礎上提出了生成網格的無限插值理論，缺點是不易控制物面附近的網格趨勢。 1981年Eriksson 與 Rizzi ^[3]  提出改進的無限插值理論思想，即在文獻 ^[2]  的基礎上引進物面笛卡兒座標變量關於物面逸出變量的導數，利用這些導數來控制物面附近的網格變換。

用這種理論構造網格時，需要：

1）定義邊界上的網格分佈

2）在物面上 構造上述導數

3）構造插值時需用的型函數

其中，2）是困難且關鍵的步驟。 ^[4] 

PDE方法可分為橢圓型 、拋物型及雙曲型 3 種。

70 年代初，自 Thompson等人首先提出了求解偏微分方程生成貼體網格方法，並首次應用於二維物體繞流的數值計算以來，該方法已成為生成複雜幾何外形貼體網格的主要技術。通過數值求解橢圓型方程生成曲線座標系，由於橢圓型方程固有的可以光順邊界數據的特性，即抑制所求邊界當地的不連續性向場內部的傳遞，從而使其成為一種非常有效的數值網格生成方法。採用求解橢圓型方程組技術，進 一步調整內部及邊界網格的疏密分佈和正交性，以滿足黏流數值模擬和插值精度的需要。 ^[5] 

非結構化網格主要是為了有限元方法的應用而發展起來的。對於有限元方法，可以有很多適用於計算的單元體四面體單元、稜柱體單元、塊狀體單元，它們之間的連接關係是不定的，這種特性也就是非結構化網格的本質。但是，其中能夠完全的通過自動化過程來生成網格的單元只有三角形二維空間、和四面體三維空間。雖然方塊單元是理想的，但對於方塊單元要想完全自動化生成網格是很困難的必須在區域的某些地方加入稜柱體或四面體來補充。 ^[1] 

映射法出現於 20 世紀 70 年代，是最早採用的網格生成方法。從 70 年代開始應用於商品化系統中，比如 FEM GEN。映射法在現有的商品化系統中仍佔統治地位，它是根據形體邊界的參數方程，利用適當的映射函數，將待分區域映射到參數空間中形成規則參數域，對規則參數域進行網格剖分，將參數域的網格 (二維是正方形 ，三維是立方體) 反向映射回歐氏空間，從而生成實際的網格。

映射法可分為三大類 :保角映射法、基於偏微分方程法、代數插值法。

三維網格劃分的許多方法都是先將形體的表面離散化，所以曲面映射是三維映射的基礎。在空間參數曲面網格的生成中，根據曲面邊界的性質有單線性映射、雙線性映射 、三線性映射。

映射法的優點是：計算效率高，網格分佈均勻、排列整齊，便於直接生成四邊形、六面體等高精度單元。但是，映射法對於形狀較為複雜的形體適應性差，需要將複雜形體事先分解成若干形狀簡單的子域。子域分解繁瑣費時，人工交互多，難以實現全自動化。 ^[6] 

結點連元法形成網格的過程是先布點，後將結點連線生成單元。隨機布點法不能保證布點均勻，且點距檢查計算耗時效率低；直接布點法中，長方形網格直接布點法和等距水平線掃描法雖然方法簡單、算法快速、布點比較均勻，但單一死板，不能避免產生最後剩餘的空白地帶；硬幣填充法布點均勻，能較好地避免產生最後剩餘的空白地帶。總的來講，結點連元法的優點是：對於複雜形體適應能力強，與其他方法相比能容易實現網格生成的自動化，所以也有人將該方法直接叫做自動化網格劃分方法，此外，該方法生成的單元形狀良好；缺點是計算量大、效率低。 ^[6] 

這種方法實質上也是結點連元法。Delaunay三角劃分在散亂數據場的可視化 、逆向工程 、地理信息系統 (如地貌的不規則網格建模) 、VRML 產品建模等領域都有十分廣泛的應用，尤其在有限元網格自動生成方面廣為流行。

在平面域的 Delaunay 三角劃分中，理論上已經嚴格證明，只要給定的結點分佈中不存在四點及四點以上共圓時，有最優解，即所有三角形單元中最小內角之和可達到最大值。在 Delaunay 三角劃分後，形成許許多多彼此相連的 Voronoi 多邊形，每個只有一個結點，每一個 Voronoi 多邊形的邊實際上就是其內結點與相臨 Voronoi 多 邊形內結點連線的中垂線，所有Voronoi 多邊形的集合叫做 Dirichlet 圖，連接相臨Voronoi 多邊形內的結點便形成三角形網格。

實現Delaunay 三角剖分的方法很多，常用的一種算法是逐個插入結點的遞歸算法。該算法要求生成Delaunay 三角形的外接圓內不允許存在其他結點，若有其他結點，則應局部修改原來的剖分。基本過程為：先構造一個大外接圓，將所有結點都包含進去，然後找出已有三角形中哪些三角形的外接圓內包含新加入的結點，刪除這些三角形內離新結點距離最近的一條邊，將新結點與周圍的老結點連線形成新的三角剖分。 ^[6]