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約瑟夫問題
鎖定
約瑟夫問題,是一個計算機科學和數學中的問題,在計算機編程的算法中,類似問題又稱為約瑟夫環,又稱“丟手絹問題”。
- 中文名
- 約瑟夫問題
- 外文名
- Josephus problem
- 別 名
- 約瑟夫斯置換
- 類似問題
- 約瑟夫環
約瑟夫問題問題來歷
據説著名猶太歷史學家Josephus(弗拉維奧·約瑟夫斯)有過以下的故事:在羅馬人佔領喬塔帕特後,39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中,39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到,於是決定了一個自殺方式,41個人排成一個圓圈,由第1個人開始報數,每報數到第3人該人就必須自殺,然後再由下一個重新報數,直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從一個人開始,越過k-2個人(因為第一個人已經被越過),並殺掉第k個人。接着,再越過k-1個人,並殺掉第k個人。這個過程沿着圓圈一直進行,直到最終只剩下一個人留下,這個人就可以繼續活着。問題是,給定了和,一開始要站在什麼地方才能避免被處決。Josephus要他的朋友先假裝遵從,他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置,於是逃過了這場死亡遊戲。
[1]
17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣一個故事:15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險,必須將一半的人投入海中,其餘的人才能倖免於難,於是想了一個辦法:30個人圍成一圓圈,從第一個人開始依次報數,每數到第九個人就將他扔入大海,如此循環進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法,才能使每次投入大海的都是教徒。
問題分析與算法設計
約瑟夫問題並不難,但求解的方法很多;題目的變化形式也很多。這裏給出一種實現方法。
題目中30個人圍成一圈,因而啓發我們用一個循環的鏈來表示,可以使用結構數組來構成一個循環鏈。結構中有兩個成員,其一為指向下一個人的指針,以構成環形的鏈;其二為該人是否被扔下海的標記,為1表示還在船上。從第一個人開始對還未扔下海的人進行計數,每數到9時,將結構中的標記改為0,表示該人已被扔下海了。這樣循環計數直到有15個人被扔下海為止。
[2]
約瑟夫問題一般形式
約瑟夫問題是個有名的問題:N個人圍成一圈,從第一個開始報數,第M個將被殺掉,最後剩下一個,其餘人都將被殺掉。例如N=6,M=5,被殺掉的順序是:5,4,6,2,3。
分析:
(1)由於對於每個人只有死和活兩種狀態,因此可以用布爾型數組標記每個人的狀態,可用true表示死,false表示活。
(2)開始時每個人都是活的,所以數組初值全部賦為false。
(3)模擬殺人過程,直到所有人都被殺死為止。
約瑟夫問題pascal代碼1
var a:array [1..20] of integer; n,m,i,j,k,n1,m1:integer; begin readln(m,n); for i:=1 to m do a[i]:=i; m1:=m; n1:=1; while m1>0 do begin j:=(n+n1-1-1) mod m1 +1; n1:=j; m1:=m1-1; writeln(a[j]); for k:=j to m1 do a[k]:=a[k+1]; end; end.
約瑟夫問題C++代碼
#include<iostream> using namespace std; main() { bool a[101]={0}; int n,m,i,f=0,t=0,s=0; cin>>n>>m; do { ++t;//逐個枚舉圈中的所有位置 if(t>n) t=1;//數組模擬環狀,最後一個與第一個相連 if(!a[t]) s++;//第t個位置上有人則報數 if(s==m)//當前報的數是m { s=0;//計數器清零 cout<<t<<' ';//輸出被殺人編號 a[t]=1;//此處人已死,設置為空 f++;//死亡人數+1 } }while(f!=n);//直到所有人都被殺死為止 }
c++代碼2
#include <iostream> #include <iomanip> #include <cmath> using namespace std; int main() { int a[8],i,t,k; for(i=1;i<=8;i++) { a[i]=1; } t=8; k=0; while(t>0) { for(i=1;i<=8;i++) { if(a[i]==1) { k++; if(k==5) { k=0; a[i]=0; cout<<setw(3)<<i; t--; if(t==0) { break; } } } } } return 0; }
用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點:要模擬整個遊戲過程,不僅程序寫起來比較煩,而且時間複雜度高達O(nm),當n,m非常大(例如上百萬,上千萬)的時候,幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號,而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率,就要打破常規,實施一點數學策略。
為了討論方便,先把問題稍微改變一下,並不影響原意:
問題描述:n個人(編號0~(n-1)),從0開始報數,報到(m-1)的退出,剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是(m-1)mod n)出列之後,剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環(以編號為k=m mod n的人開始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
並且從k開始報0。
我們把他們的編號做一下轉換:
k -->0
k+1 -->1
k+2 -->2
...
...
k-2 -->n-2
變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題,假如我們知道這個子問題的解:例如x是最終的勝利者,那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎。變回去的公式很簡單,相信大家都可以推出來:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解。對,只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢。當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題。好了,思路出來了,下面寫遞推公式:
令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號,最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1)
有了這個公式,我們要做的就是從1-n順序算出f的數值,最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始,我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推,不需要保存每個f,程序也是異常簡單:
約瑟夫問題pascal代碼2
var n,m,i,s,p:integer; a:array[1..10000] of integer; begin read(n,m);//這步不用説了吧? for i:=1 to n do a[i]:=1;//先全部賦值1 p:=0;s:=0;//統計人數和報數字用的 repeat for i:=1 to n do begin if a[i]=0 then continue; //用於等會排除出圈者 s:=s+a[i];//不斷累加(報數字) if s=m then//出圈者 begin write(i,' ');打印出圈者; a[i]:=0;//明白剛才continue的意思了吧 p:=p+1;//人數減少一個; s:=0;//重頭報起. end; end; until p=n;//直到人數到了 end.
約瑟夫問題pascal代碼3
Var a:array[1..100] of integer; n,m,i,j,p:integer; Begin write('Input n,m:'); readln(n,m); for i:=1 to n do a[i]:=i; p:=1; {p用於記錄報數的位置} for i:=1 to n do begin j:=0; {j用於記錄報到的人數} while j<m do begin if a[p]<>0 then j:=j+1; if p=n then p:=1 else p:=p+1; {處理邊界情況} end; if p<>1 then begin write(a[p-1],' ');a[p-1]:=0;end {處理邊界情況} else begin write(a[n],' ');a[n]:=0;end; end; end.
約瑟夫問題pascal代碼4
Var a:array[1..100] of integer; n,m,p,i,j:integer; Begin readln(n,m); for i:=1 to n-1 do a[i]:=i+1; a[n]:=1; p:=n; for i:=1 to n do begin for j:=1 to m-1 do p:=a[p]; write(a[p],' '); a[p]:=a[a[p]]; end; End.
約瑟夫問題c++
#include <iostream> using namespace std; const int m = 3; int main() { int n, f = 0; cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i; cout << f + 1 << endl; }
約瑟夫問題pascal代碼5
var n,m,i,s:integer; begin write('N M ='); read(n,m); for i:=2 to n do s:=(s+m) mod i; writeln('The winner is ',s+1); end.
這個算法的時間複雜度為O(n),相對於模擬算法已經有了很大的提高。就算n,m等於一百萬,一千萬也不是問題了。可見,適當地運用數學策略,不僅可以讓編程變得簡單,而且往往會成倍地提高算法執行效率。
約瑟夫問題python代碼
該程序基於python3.x實現
#控制參數: nums = 41 call = 3 #參數定義: peoples = [] for _ in range(nums): peoples.append(True) result = [] num =1 #主邏輯 while(any(peoples)): for index,people in enumerate(peoples): if people: if num == call: peoples[index] = False result.append(index+1) # print(index+1)#每輪的出局者 # print(peoples)#每次的隊列狀態 num = 1 else: num += 1 print('-'* 25) print('\n總數為%d,報數為%d' % (nums,call)) print('約瑟夫序列為:\n%s\n' % result) print('-'* 25)
約瑟夫問題約瑟夫問題10e100版
描述 Description
n個人排成一圈。從某個人開始,按順時針方向依次編號。從編號為1的人開始順時針“一二一”報數,報到2的人退出圈子。這樣不斷循環下去,圈子裏的人將不斷減少。由於人的個數是有限的,因此最終會剩下一個人。試問最後剩下的人最開始的編號。
輸入格式 Input Format
一個正整數n,表示人的個數。輸入數據保證數字n不超過100位。
輸出格式 Output Format
一個正整數。它表示經過“一二一”報數後最後剩下的人的編號。
樣例輸入 Sample Input
9
樣例輸出 Sample Output
3
時間限制 Time Limitation
各個測試點1s
註釋 Hint
樣例説明
當n=9時,退出圈子的人的編號依次為:
2 4 6 8 1 5 9 7
最後剩下的人編號為3
初見這道題,可能會想到模擬。可是數據實在太大啦。
我們先拿手來算,可知n分別為1,2,3,4,5,6,7,8...時的結果是1,1,3,1,3,5,7,1...
有如下規律:從1到下一個1為一組,每一組中都是從1開始遞增的奇數,且每組元素的個數分別為1,2,4...
這樣就好弄了。
大體思路如下:
①read(a)
②b:=1,c:=1{b為某一組的元素個數,c為累計所加到的數}
③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c){超過目標時停止加數}
⑥c:=c-b{退到前一組}
⑦x:=a-c{算出目標為所在組的第幾個元素}
⑧ans:=x*2-1{求出該元素}
⑨write(ans)
var a,b,c:array[1..105]of longint; la,lb,lc,i:longint; s:string; procedure incc; var i:integer; begin for i:=1 to 105 do c:=c+b; for i:=1 to 104 do if c>9 then begin c:=c+cdiv10; c:=c mod 10; end; end; functioncxiaoa:boolean; vari:integer; begin cxiaoa:=false; fori:=105downto1do ifc<athenbegincxiaoa:=true;break;end elseifc>athenbreak; end; proceduredoubleb; vari:integer; begin fori:=1to105dob:=b*2; fori:=1to104doifb>9then begin b:=b+bdiv10; b:=bmod10; end; end; proceduredecc; vari,j:integer; begin fori:=1to104do ifc>=bthenc:=c-belse begin j:=i+1; whilec[j]=0doinc(j); whilej>ido begin c[j]:=c[j]-1; c[j-1]:=c[j-1]+10; dec(j); end; c:=c-b; end; end; procedurefua; vari:integer; begin fori:=1to104do ifa>cthena:=a-celse begin a:=a-1; a:=a+10; a:=a-c; end; end; procedureoutit; vari,j:integer; begin fori:=1to105doa:=a*2; fori:=1to104doifa>9then begin a:=a+adiv10; a:=amod10; end; ifa[1]>0thena[1]:=a[1]-1else begin j:=2; whilea[j]=0doinc(j); whilej>1do begin a[j]:=a[j]-1; a[j-1]:=a[j-1]+10; dec(j); end; a[1]:=a[1]-1; end; fori:=105downto1doifa>0thenbeginj:=i;break;end; fori:=jdownto1dowrite(a); end; begin readln(s); la:=length(s); fori:=ladownto1doa:=ord(s[la+1-i])-ord('0'); b[1]:=1; c[1]:=1; whilecxiaoado begin doubleb; incc; end; decc; fua; outit; end.
約瑟夫問題猴子選王
約瑟夫問題問題表述
一. 問題描述:
一堆猴子都有編號,編號是1,2,3 ...m,這羣猴子(m個)按照1-m的順序圍坐一圈,從第1開始數,每數到第N個,該猴子就要離開此圈,這樣依次下來,直到圈中只剩下最後一隻猴子,則該猴子為大王。
約瑟夫
"密碼問題"
編號為1的人開始,按順時針方向自1開始順序報數,報到指定數M時停止報數,報M的人出列,並將
他的密碼作為新的M值,從他在順時針方向的下一個人開始,重新從1報數,依此類推,直至所有的
人全部出列為止。請設計一個程序求出出列的順序,其中N≤30,M及密碼值從鍵盤輸入。
二. 基本要求:
(1) 輸入數據:輸入m,n m,n 為整數,n<m
(2)中文提示按照m個猴子,數n 個數的方法,輸出為大王的猴子是幾號 ,建立一個函數來實現此功能
約瑟夫問題編程解決
- 1.C程序
#include <stdio.h> #include <malloc.h> #defineLENsizeof(structmonkey)//定義structmonkey這個類型的長度 struct monkey { int num; struct monkey *next; }; struct monkey *create(int m) { struct monkey *head,*p1,*p2; inti; p1=p2=(struct monkey*)malloc(LEN); head=p1; head->num=1; for(i=1,p1->num=1;i<m;i++) { p1=(struct monkey*)malloc(LEN); p1->num=i+1; p2->next=p1; p2=p1; } p2->next=head; return head; } struct monkey *findout(struct monkey *start,int n) { int i; struct monkey *p; i=n; p=start; for(i=1;i<n-1;i++) p=p->next; return p; } struct monkey *letout(struct monkey *last) { struct monkey *out,*next; out=last->next; last->next=out->next; next=out->next; free(out); return next; } int main() { int m,n,i,king; struct monkey *p1,*p2; printf("請輸入猴子的個數m:\n"); scanf("%d",&m); printf("每次數猴子的個數n:\n"); scanf("%d",&n); if(n==1) { king=m; } else { p1=p2=create(m); for(i=1;i<m;i++) { p2=findout(p1,n); p1=p2; p2=letout(p1); p1=p2; } king=p2->num; free(p2); } printf("猴王的編號是:%d\n",king); return 0; }
- C語言程序2
//猴子選大王問題(約瑟夫環問題) #include<stdio.h> #include<string.h> #include<stdlib.h> intfre(charmok[],intk) { inti; printf("\n猴子編號:\n"); for(i=0;mok[i]!='\0';i++) printf("%d\t",mok[i]);//輸出為踢出之前的編號,測試用 for(i=k;mok[i]!='\0';i++) { mok[i]=mok[i+1]; }//一個循環,將k以後的元素前移 putchar('\n'); for(i=0;mok[i]!='\0';i++) printf("%d\t",mok[i]);//輸出踢出之後的編號,測試用 printf("\n按回車繼續下一輪:\n"); getch();//暫停,測試用 return0; } int main() { char mok[50]; int i; int n,s,b;//n表示猴子總數;s表示步進;b表示元素個數及大王編號 int j,k;//j,k都是計數器 mok[0]=1;//初始化mok[0],讓後面編號更簡單的進行 printf("請輸入猴子的總數:\n"); scanf("%d",&n);//輸入猴子的總數 for(i=1;i<n;i++) { mok[i]=i+1; }//對猴子進行編號 mok[n]='\0';//用0來表示數組的結尾 printf("請輸入循環單位:\n"); scanf("%d",&s);//單位長度 b=n;//統計猴子的個數 for(j=1,k=0;;j++,k++) { if(b==1) { b=mok[0]; break; }//如果元素只剩下一個,那麼退出循環 if(j==s) { printf("\n它出列了:%d\n",mok[k]); fre(mok,k);//用於元素前移的函數 b--; j=1; }//將猴子從數組中踢出,並重置計數器J。 if(mok[k+1]=='\0') k=-1;//重置計數器k,因為後面有k++所以k要在重置基礎上-1. }//判斷是否為數組最後元素,重置計數器k。 printf("\n最終大王是他:%d\n",b); return0; }
- C語言程序3: 用數組模擬鏈表
#include<stdio.h> #include<malloc.h> int main() { int *person,i,node,n,m; scanf("%d%d",&n,&m); person=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1)); for(i=1;i<n;i++)//初始化圈 { person[i]=i+1;//i表示編號為i的人,person[i]的值表示編號為i的人的下一個人的編號 } person[n]=1;//編號為n的下一個人的編號是1 node=1; while(node!=person[node])//如果某個人的下一個人不是自己,意味着人數超過1人 { for(i=1;i<m-1;i++)//這個循環終止於被殺的人的前一個人 { node=person[node];//下一個人的編號為node,node的值來自於前一個人的person[node] } printf("%d",person[node]);//輸出被殺的人編號 person[node]=person[person[node]];//修改被殺的人的前一個人的person[node]為被殺的人的後一個人的編號 node=person[node];//這句話中的node是被殺的人後一個人 } printf("%d",node);//輸出最後倖存者的編號 return 0; }
- pascal程序:
var a:array[1..10000]ofinteger; n,s,i,j:integer; begin read(m,n); fori:=1tomdoa[i]:=1; j:=0; fori:=1tomdo begin s:=0; whiles<ndo begin ifj<mtheninc(j) elsej:=1; s:=s+a[j]; end; write(j); a[j]:=0; end; end.
- c++程序
#include<iostream> #include<conio.h> using namespace std; main() { int n,m,i,s=0; cout<<"N:";cin>>n; cout<<"M:";cin>>m; for(i=2;i<=n;i++) s=(s+m)%i; cout<<"新的大王是:"<<s+1; getch(); }
- 約瑟夫數學算法
#include<stdio.h> #include<conio.h> intmain(void) { intn,i=0,m,p; scanf("%d%d",&n,&m);//n總人數,m步長 while(++i<=n) { p=i*m; while(p>n) p=p-n+(p-n-1)/(m-1); printf("%d\n",p); } getch(); return0; }
- 約瑟夫遞推算法
#include<iostream> usingnamespacestd; intking(intM,intN) { intk=0; for(inti=2;i<=M;i++) k=(k+N)%i; return++k;}i ntmain() { intn,m; while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m) { cout<<king(n,m)<<endl; } return0; }
- 2、PHP模擬算法
php有非常完善的數據結構模擬方案,可以非常簡潔的解決這樣的問題!
function king($n,$m){ $monkey = range(1,$n);//模擬建立一個連續數組 $i=0; while(count($monkey)>1){ $i+=1;//開始查數 $head = array_shift($monkey);//直接一個一個出列最前面的猴子 if( $i%$m !=0 ){ array_push($monkey,$head);//如果沒數到m或m的倍數,則把該猴放回尾部去. }//否則就拋棄掉了 } return $monkey[0]; } echo'剩餘',king(3,4),'號猴子';
3. Python遍歷數組
def Monkey(n, M): if n == 0 or M == 1: #過濾兩種特殊情況 return 0 L = list(map(list,list(enumerate([True] * n,start=1)))) #兩種狀態以布爾值表示 counter = 0 while [L[i][1] for i in range(len(L))].count(True) > 1: for i in range(len(L)): if L[i][1] == True: counter += 1 if counter % M == 0 and L[i][1] == True: L[i][1] = False return list(filter(lambda x:x[1] == True, L))[0][0] Monkey(2009, 3)
約瑟夫問題筆算解決
筆算解決約瑟夫問題
在M比較小的時候 ,可以用筆算的方法求解,
M=2
即N個人圍成一圈,1,2,1,2的報數,報到2就去死,直到只剩下一個人為止。
當N=2^k的時候,第一個報數的人就是最後一個死的,
對於任意的自然數N 都可以表示為N=2^k+t,其中t<n/2
於是當有t個人去死的時候,就只剩下2^k個人 ,這2^k個人中第一個報數的就是最後去死的。這2^k個人中第一個報數的人就是2t+1
於是就求出了當M=2時約瑟夫問題的解:
求出不大於N的最大的2的整數次冪,記為2^k,最後一個去死的人是2(N-2^k)+1
M=3
即N個人圍成一圈,1,2,3,1,2,3的報數,報到3就去死,直到只剩下一個人為止。
此時要比M=2時要複雜的多
我們以N=2009為例計算
N=2009,M=3時最後被殺死的人記為F(2009,3),或者可以簡單的記為F(2009)
假設這種情況下還剩下n個人,則下一輪將殺死[n/3]個人,[ ]表示小於等於這個數的最大整數,還剩下n-[n/3]個人
設這n個人為a1,a2,...,a(n-1),an
從a1開始報數,一圈之後,剩下的人為a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an
於是可得:
1、這一輪中最後一個死的是a(n-n mod 3),下一輪第一個報數的是a(n-n mod 3+1)
2、若3|n,則最後死的人為新一輪的第F(n-[n/3])個人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3則最後死的人為新一輪的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-(n mod 3)人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3則最後死的人為新一輪的第F(n-[n/3])-(n mod 3)人
3、新一輪第k個人對應原來的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1個人
綜合1,2,3可得:
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1,
當f(n-[n/3])<=n mod 3時 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-(n mod 3),F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
當f(n-[n/3])>n mod 3時 k=F(n-[n/3])-(n mod 3) ,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
這種算法需要計算 [log(3/2)2009]次 這個數不大於22,可以用筆算了
於是:
第一圈,將殺死669個人,這一圈最後一個被殺死的人是2007,還剩下1340個人,
第二圈,殺死446人,還剩下894人
第三圈,殺死298人,還剩下596人
第四圈,殺死198人,還剩下398人
第五圈,殺死132人,還剩下266人
第六圈,殺死88人,還剩下178人
第七圈,殺死59人,還剩下119人
第八圈,殺死39人,還剩下80人
第九圈,殺死26人,還剩下54人
第十圈,殺死18人,還剩36人
十一圈,殺死12人,還剩24人
十二圈,殺死8人,還剩16人
十三圈,殺死5人,還剩11人
十四圈,殺死3人,還剩8人
十五圈,殺死2人,還剩6人
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1,
然後逆推回去
F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130
F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009)=634
約瑟夫問題規律解決
對於經典約瑟父問題,視頻中的解法是:
1)找出令等式
成立的最大的
,記為
2)求解出
3)所以,最後留下來的人的序號為
視頻中給出的解釋是:
當
時,序號為1的人總是是最後留下來的人。對於
,當去掉
個人後,剩下的人正好組成
個人圍成的圈,此圈中的序號1的人將是最後留下來的人。而對應到原來的圈,這個人的序號就是
,因為去掉
個人時正好就跳過了
個人,而下一個人的序號就是
。
推廣到猴子選王問題,從以上解法不難看出,解法就是把2換成N,即:
1)找出令等式
成立的最大的
,記為
2)求解出
3)所以,最後留下來的猴子的序號為
,mod是取餘數,例如:3 mod 2 = 1
- 參考資料
-
- 1. Ronald L.Graham,Donald E.Knuth,Oren Patashnik .具體數學計算機基礎(第2版) :人民郵電出版社,2013:7
- 2. 猶太曆史書寫之起源與約瑟夫斯問題 - 烏有之鄉 .烏有之鄉[引用日期2020-09-02]
- 3. 【Numberphile】互砍慘案!約瑟夫斯問題 .bilibili.2017-01-07[引用日期2018-01-08]