簡單類型論

簡單類型論(simple type theory)分支類型論的基礎.指在分支類型論中，廢除性質的級的劃分，而保留類的劃分的一種理論。非直謂定義法往往不僅在數學上，而且在日常生活中也是不可缺少的。

第 0 層謂詞:：包 括一切個體 ( 個體常項或變項 ) ，這些實體的類型記為0。

第 1層謂詞 ：取個體作為變目的謂詞，包括個體的屬性 （ 用

等來表達，其 中e為空位），個體之 間的關係（ 用

等來表達 ）。個體屬性（如 "e是聰 明的 " ）的類型記為( 0)， 個體關係（ 如 "x> y" ，”x在y和z之間“ ）的 類型 記為 ( 0,0 ) 等。

第 2 層 謂詞 ： 其空位被個體或第 1層謂詞填補 ，並 且至少出 現一個第 1層謂作為變目。第 2 層謂詞亦根據它的空位的個數及種類而分成不同的類型。個體屬性的一個屬性 ，如“ 誠實是有道德的”, 其類型記為 ( ( 0 ) ) ，大於關係的傳遞性。其類型為 (( 0, 0) ) ； 張三體現了李四 愛 學習的精神，其類型為 ( 0 ,( 0 ) )。

第 3 層請詞、 第 4 層謂 詞 等等可類推。一 個謂詞 如果其變目屬 於

層並且至少有一個變目是第 n 層 的。它便屬於第n + l 層 。只有第 1 層謂詞才能有意義地述説某一個體( 第0 層謂詞 ) 。 一般説 來 ， 第

層謂詞 能夠有意義地述説第

層謂 詞 當且 僅 當

,第

層謂詞不能有意義地述説同層的謂詞 ^[1]  。

經過蘭姆賽(Ramsey,F. P.)的研究知，邏輯數學悖論無不導源於“一切集的集是集”、“一切良序集的集是良序集”等違反類型混淆原則的概念，因而只要堅持類型混淆原則，便足以排除邏輯數學悖論。類型混淆原則是集合化了的分類原則的直接推論。從而只要承認英國數理邏輯學家羅素(Russell , B. A. W.)關於性質、性質的性質……的分類及其分類原則，並將其集合化，便可在類型混淆原則之下排斥等價式非直謂定義法的使用而避免邏輯數學悖論的出現。至於那些語義學悖論的出現，既然不能在邏輯、數學的符號語言中表達，故從邏輯、數學的角度去建造數學理論時，即可不考慮語義學悖論而納人語義學中去處理.因此蘭姆賽就在保留羅素對於性質的類的劃分，而廢除關於性質的級的劃分的基礎上建立了簡單類型論。在簡單類型論中，只承認關於性質的分類原則而不承認惡性循環原則，因而只否定等價式非直謂定義法的使用，而保留了那些不涉及等價式非直謂的、一般意義下的狹義非直謂的合理因素的使用.從而由蘭姆賽建立的簡單類型論為大多數數學家所歡迎 ^[2]  。

簡單類型論保留了羅素關於性質的分類及其分類原則，而集合化了的分類原則(任)又使得類型混淆原則必然成立，而類型混淆原則與等價式非直謂不能成立，從而那些與等價式非直謂直接相關的康托爾悖論、布拉利·福爾蒂悖論等首先不能在簡單類型論中出現.其次，在分類原則(任)之下，既然類型混淆原則必然成立，因而具有性質xE二的總體均不為集，即任何集都是非本身分子集，因而一切非本身分子集的總體萬也不是集，否則，若設乏為一集，則萬也不例外地是一個非本身分子集，從而由乏的構造而知乏又是本身分子集了，矛盾.這矛盾説明乏不是集，因而不存在乏為本身分子集還是非本身分子集的問題，故在簡單類型論中不存在羅素悖論 ^[1]  。