算術研究

在這本書的序言一開頭，高斯明確地説明了本書的範圍：“本書所研究的是數學中的整數部分，分數和無理數不包括在內。”

《算術研究》是一部劃時代的作品，它結束了19世紀以前數論的無系統狀態。在這部書中，高斯對前人在數論中的一切傑出而又零星的成果予以系統的整理，並積極加以推廣，給出了標準化的記號，把研究的問題和解決這些問題的已知方法進行了分類，還引進了新的方法。

全書共有三個核心課題：同餘理論、齊式論及剩餘論和二次互反律。這些都是高斯貢獻給數論的卓越成就。

同餘理論

同餘是《算術研究》中的一個基本研究課題。這個概念不是高斯首先提出的，但是給同餘引入現代的符號並予以系統研究的卻是高斯。他詳細地討論了同餘數的運算、多項式同餘式的基本定理以及冪的同餘等各種問題。他還運用冪的同餘理論證明了費馬小定理。

二次互反律

二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在數論中佔有極為重要的地位。正如美國現代數學家狄克遜（1874—1954年）所説：“它是數論中最重要的工具，並且在數論發展史上佔有中心位置。”其實，高斯早在1796年就已經得出了這個定理及其證明。發表在《算術研究》中的則是另一種證明。

二次互反律發展

從二次互反律出發，高斯相繼引出了雙二次互反律和三次互反律，以及與此相聯繫的雙二次和三次剩餘理論。為了使三次和雙二次剩餘理論優美而簡單，高斯又發展出了復整數和復整數數論；而它的進一步結果必然是代數數理論，這方面由高斯的學生戴德金（1831—1916）作出了決定性的貢獻。

在《算術研究》中，高斯出乎尋常的以最大的篇幅討論了型的理論。他從拉格朗日的著作中抽象出了型的等價概念後，便一鼓作氣地提出了一系列關於型的等價定理和型的複合理論，他的工作有效地向人們展現了型的重要性——用於證明任何多個關於整數數的定理。正是由於高斯的帶領，使型的理論成為19世紀數論的一個主要課題。高斯關於型和型類的幾何表式的論述是如今所謂數的幾何學的開端。

高斯對數論問題的處理，有許多涉及到複數。

首先是對複數的承認

這是個老問題。18、19世紀不少傑出的數學家都曾被“複數究竟是什麼？”搞不清楚。萊布尼茲、歐拉等數學大師對此一籌莫展。高斯在代數基本定理的證明中無條件地使用了複數。這使得原先僅從運算通行性這點考慮對複數的承認，擴大到在重大的代數問題的證明中來確認複數的地位。高斯以其對該定理的高超證明，使數學界不僅對高斯而且對複數刮目相待。

複數帶進了數論

高斯不僅如此，他又把複數帶進了數論，並且創立了復整數理論。在這一理論中，高斯證明了復整數在本質上具有和普通整數相同的性質。歐幾里得在普通整數中證明了算術基本定理——每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在復整數中得出並證明，只要不把四個可逆元素（±1，±i）作為不同的因數，那麼這個唯一分解定理對複數也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能轉化為複數的定理（擴大到複數領域）。

《算術研究》似乎任何一個學過中學普通代數的人都可以理解，但是，它完全不是給初學者看的。在當時，讀懂這本書的人較少。困難不是詳細的計算示例而是對主題的理解和對深奧思路的認識。由於全書有7個部分，人們風趣地稱它是部“加七道封漆的著作”。

《算術研究》出版後，很多青年數學家紛紛購買此書並加以研究，狄利克雷（1805—1859）就是其中之一。狄利克雷是德國著名數學家，對分析、數論等有多方面的貢獻。他把《算術研究》視為心愛的寶貝，把書藏在罩袍裏貼胸的地方，走到哪兒帶到哪兒，一有空就拿出來閲讀。晚上睡覺的時候，把它墊在枕頭下面，在睡前還讀上幾段。功夫不負有心人，憑着這股堅韌不拔的毅力，狄利克雷終於第一個打開了“七道封漆”。後來他以通俗的形式對《算術研究》作了詳細的介紹和解釋，使這部艱深的作品逐漸為較多的人所理解和掌握。

關於《算術研究》和狄利克雷之間還有一段感人的故事。1849年7月16日，正好是高斯獲得博士學位50週年。哥廷根大學舉行慶祝活動，其中有一個別出心裁的節目，他們要高斯用《算術研究》中一頁原稿來點燃自己的煙斗。狄利克雷正好站在高斯身旁，他看到這個情景完全驚呆了。在最後一剎那，他不顧一切地從自己恩師的手中搶下了這頁原稿，並把它珍藏起來。這頁手稿直到狄利克雷逝世以後，編輯人員在整理他的遺稿中才重新發現了它。

《算術研究》發表後，拉格朗日曾經悲觀地以為“礦源已經挖盡”、數學正瀕臨絕境，當他看完《算術研究》後興奮地看到了希望的曙光。這位68歲高齡的老人致信高斯表示由衷的祝賀：

“您的《算術研究》已立刻使您成為第一流的數學家。我認為，最後一章包含了最優美的分析的發現。為尋找這一發現，人們作了長時間的探索。……相信我，沒有人比我更真誠地為您的成就歡呼。”

關於這部著作，19世紀德國著名數學史家莫里茨·康託曾發表過高見，他説：

“高斯曾説：‘數學是科學的女皇，數論則是數學的女皇。’如果這是真理，我們還可以補充一點：《算術研究》是數論的憲章。”

《算術研究》是高斯一生中的鉅著。暮年高斯在談到這部書時説：“《算術研究》是歷史的財富。”

高斯原本計劃繼續撰寫《算術研究》第2卷，但由於工作的變化和研究興趣的轉移，這一計劃未能實現。

高斯的許多數學成就都是在他去世後才被人們發現的。從1796年3月30日高斯用尺規作出正17邊形後，他開始記科學日記，並且長期堅持下來，到1814年7月9日。高斯的科學日記是1898年哥廷根皇家學會為了研究高斯，向高斯的孫子借來的。從此，這本科學日記的內容才在高斯逝世43年後流傳。這本日記共146項研究成果，由於僅供個人使用，所以每一條記錄往往只寫三言兩語，十分簡短。有的條目簡單得甚至專家也摸不着頭腦。

1796年10月11日， Vicimus GEGAN

1799年4月8日，REV. GALEN

這兩項研究成果，至今仍是個謎。

在1796年7月10日中有這樣一條日記：

Ευρηκα！num=△+△+△

Ευρηκα是希臘文找到了的意思。當年，阿基米德在洗澡的時候突然發現了浮力定律，興奮地從浴缸一躍而起，在大街上狂奔高喊的就是“Ευρηκα！”高斯在這裏找到了費馬提出的一個困難定理的證明：每個正整數是三個三角數之和。

高斯的科學日記一經披露，轟動了整個科學界。人們第一次瞭解到，有許多重大成果高斯實際上早就發現，而公開發表得很晚，有的甚至生前根本沒有發表。有關橢圓函數雙週期性的內容一直到日記發表的時候人們才知道，以致這個重大成果在日記裏整整沉睡了100年。1797年3月19日的一條日記清楚表明，高斯已經發現了這個成果；後來又有一條，説明高斯還進一步認識到一般情況下的雙週期性。這個問題後來經過雅可比（1804—1851）和阿貝爾獨立研究發展，才成為19世紀函數論的核心。類似的例子不勝枚舉。

這樣大量的重大發現在日記裏竟被埋沒了幾十年甚至一個世紀！面對這一不可思議的事實，數學家無不大為震驚。如果及時發表這些內容，無疑會給高斯帶來空前的榮譽，因為日記中的任何一項成果都是當時世界第一流的。如果及時發表這些內容，就可以免得後來的數學家在許多重要領域中的苦苦摸索，數學史因而將大大改寫。

當時的社會環境和高斯個人性格

為什麼會出現這現象呢？這與當時的社會環境和高斯個人性格有十分重要的關係。

18世紀，數學界貫穿着激烈的爭論，數學家們各持己見，互相指責，由於缺乏嚴格的論證，在爭論中又產生了種種錯誤。為了證明自己的論點，他們往往自吹自擂，互相諷刺挖苦，這類爭論給高斯留下了深刻的印象。高斯雖然出身貧微，卻和他的父母一樣，有着極強的自尊心，加之他對科學研究的極端慎重的態度，使他生前沒有公開這本日記。他認為，這些研究成果還須進一步加以論證。他在科學研究上遵循的格言是“寧少毋濫”。

高斯這種嚴謹的治學態度，雖然使後輩科學家付出了巨大的代價，但是，也給科學研究帶來了好處。高斯出版的著作至今仍然像第一次出版一樣正確而重要，他的出版物就是法典，比人類其他法典都更高明，因為不論何時何地從未發現其中有任何毛病。

高斯治學的態度正如他在自己的肖像下工工整整地寫下的《李爾王》中的一段格言一樣：

“大自然，您是我的女神，我一生的效勞都服從於您的規律。”

高斯在數學領域中的成就是巨大的。後來人們問起他成功的秘訣，他以其特有的謙遜方法回答道：

“如果別人思考數學的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發現。”

為了證明自己的結論，有一次他指着《算術研究》第633頁上一個問題動情地説：

“別人都説我是天才，別信它！你看這個問題只佔短短几行，卻使我整整花了4年時間。4年來我幾乎沒有一個星期不在考慮它的符號問題。”