空間曲率

舉例説，球面是一種二維的彎曲空間，球面上弧元的平方是： 。

式中U、嗞 為球面上的點在過球心的平面上投影的座標;R是球的半徑;是這個空間的曲率。對於一般的二維曲面上的各個點,能借兩個單參數曲線族（μ =常數,v =常數）所定義的座標μ 和v 來表示。在其上弧元的平方是：

ds=g11dμ+2g12dμdv+g22dv,

式中g11、g12、g22為座標μ、v的函數。它反映着空間的度量性質。過這種曲面上的每一點作切面，在切面上存在兩個互相垂直的方向。在這兩個方向上曲率1/R,分別達到極大值和極小值1/R1和1/R2。量

稱為高斯曲率。

黎曼研究了更一般的彎曲空間。在滿足一定條件的集合中給定一個二階協變張量場；對於局部座標x，…，x,這個張量場可以寫為gij(x,…,x),它是對稱的,並且是非退化的。這樣的集合稱為黎曼空間。gij稱為黎曼空間的度規張量。在這種空間中的弧元平方定義為ds=gij(x,…,x)dxdx。上指標與下指標相同,代表這個指標分別取空間中各維來求和。這種空間的彎曲性質用黎曼曲率張量表示為：

式中 ，

被稱作聯絡。由R經過一次升標和縮並運算,可以得到另外兩個表徵空間彎曲的量,即裏齊張量R和標量曲率R。由某點上兩個線性獨立的方向 ξ媰，ξ媱決定的標量：

叫作黎曼空間在該點的黎曼曲率。