空間想象力

空間想象力是人們對客觀事物的空間形式(空間幾何形體)進行觀察、分析、認知的抽象思維能力，它主要包括下面三個方面的內容：(1)能根據空間幾何形體或根據表述幾何形體的語言、符號，在大腦中展現出相應的空間幾何圖形，並能正確想象其直觀圖．(2)能根據直觀圖，在大腦中展現出直觀圖表現的的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關係和數量關係．(3)能對頭腦中已有的空間幾何形體進行分解、組合，產生新的空間幾何形體，並正確分析其位置關係和數量關係．　培養學生的空間想象力是中學數學教學的主要任務之一，同時也是難點之一．在教學中如果對空間想象力這一名詞只是提的多，理性分析不夠，不能把握其培養規律，就可能造成這樣的結果：少部分有悟性的學生的空間想象力得到了提高，而大部分學生則收益甚少，乃至於視《立體幾何》的學習為畏途．

辯證唯物主義認為，任何事物的變化發展都有其內在規律．空間想象力的提高也是如此，它是逐級向上的，即有明顯的層次性．教師惟有把握好這一規律，將之有機地滲透到教學實踐中去，有意識、有針對性地採取得當的教學方法和措施，才能有效地提高學生的空間想象力．

根據空間想象力的提高有層次性這一特點，空間想象力的培養可以細分為如下6個過程：

作為高中學生，他們已有了二維空間(平面)的知識，對三維空間的感知也有，但對三維空間的無限性、複雜性認識不夠．因此，通過對直線的無限延伸、平面的無限延展性的認識；通過比較平面內與空間中兩直線位置關係的不同；通過認識線面關係、面面關係來強化學生對三維空間的認識就顯得尤為重要．

在教學實踐中，我通常在立體幾何教學的第一或第二節課中設置下列問題：

1．一個平面可以將空間分成幾個部分？二個平面呢？三個平面？試擺出模型加以説明．

2．空間三條直線的位置有多少種可能？

3．兩條直線與一個平面的位置有多少種可能？

4．兩條直線與二個平面的位置有多少種可能？對這些問題，學生的回答不一定準確，但通過思考和擺置模型，學生對三維空間的認知得到了強化．

通過展現立體幾何教學模型或認識生活中的模型(如樓層)，並讓學生想象看不見的部分，想象線面繼續延伸、延展之後的情況，有助於培養學生的空間想象力．

作空間圖形的直觀圖，實質是空間圖形的平面化表示，其原則是看起來要“像”．作圖要規範，因為規範作圖實際上是對“如何作幾何體的平面圖”與“平面圖如何看(想象)成體”這兩個問題的大眾化的統一回答．

過去，我是按教材的三步法“示例—總結步驟—學生模仿”來進行“斜二測法”的教學的，但效果不理想．大多數學生的作圖總是不夠規範，作出來的圖不“像”，常常把實線畫成虛線，虛線畫成實線．為了克服學生作圖不規範，不“像”的毛病，我採取瞭如下的措施：上課時讓學生上黑板畫圖，然後師生共同評析，看哪個同學畫得好，優點在哪裏，存在哪些毛病；印發常見的基本直觀圖給學生，讓學生反覆觀摩，然後再畫出來，作為作業；課外組織學生進行“畫直觀圖比賽”．這些措施激發了學生的學習興趣，使學生認識到規範作圖的重要性，增強了學生的作圖能力．

這一過程要分兩步走：第一步是先根據平面圖找模型，再依據模型來想象．當第一步達到一定熟練程度之後，便實施了第二步，即直接根據平面圖出發進行空間圖形(體)的直觀形象的想象．

多讓學生製作模型，對培養學生的空間想象力是一項非常有益的活動．模型的製作應由簡單到複雜，簡單的如圖一，中等的如圖二，複雜的如圖三．

另外，讓學生製作正方體，正四面體，正八面體的模型是必不可少的課外作業，這既有助於學生提高空間想象力，也使學生領悟到這些幾何體的和諧美，對稱美，從而增加學習數學的興趣．

即培養學生由描述幾何形體的條件就可以想象出空間圖形(體)的直觀形象的能力．這一能力分成兩個層次：第一層次是根據描述幾何形體的條件作出直觀圖(或找模型)，再根據直觀圖(或模型)想象出幾何形體的直觀形象；第二層次是直接由條件出發進行直觀形象的想象．

通過多年的教學實踐，我認識到多做類似下面的練習，對提高學生空間想象力有事半功倍的效果．

試想象(離開模型、圖形)正方體ABCD-A1B1C1D1中：

①各頂點的位置；

②在各稜所在的直線中，與直線AB平行的直線有哪些？

③在各稜所在的直線中，與直線AB相交的直線有哪些？

④在各稜所在的直線中，與直線AB異面的直線有哪些？

⑤在各頂點連線中，與直線AB成45°角的直線有哪些？

這一能力的實質是對空間圖形中點、線、面的位置關係與數量關係的認識與想象．精選例題，精選練習，引導學生大膽思考，深入探索，對提高學生這方面的能力十分重要，下面是兩道我採用的例題．

例1 在△ABC中，A(0，0)，B(1，3)，C(3，2)，將△ABC繞y軸旋轉一週，求所得幾何體的表面積．

例2 有一個半徑為5cm的球，以它的一條直徑為軸，鑽一個半徑為2cm的孔，求剩餘部分的表面積．

以上的培養學生的空間想象力的6個過程中，過程1、2是基礎，過程3是關鍵，這3個過程的教學工作做好了，後面3個過程的教學工作才有望順利完成，6個過程並不是彼此孤立的，而是互相交錯，相輔相成的．在每一個過程中，都要刻意做好兩件工作，其一是對空間圖形的直觀形象的想象，其二是對空間圖形中點、線、面的位置關係的認識與想象．《立體幾何》的教學過程是一個嚴密的知識體系的發展過程，這一過程隱含着內在的空間想象力的培養過程，兩者具有高度的統一性．因此，空間想象力的培養是有機地滲透到立體幾何的教學過程中去的．

一、利用計算機繪製生動、形象的立體圖形，使學生通過對直觀圖形透徹的觀察，理解抽象的理論概念

在“多面體與旋轉體的體積”這一章中，主要內容是柱、錐、台、球四種體積公式的推導，關鍵是對立體圖形分析與理解。為了幫助學生在觀察圖形的基礎上從感性認識向理性認識過渡，我們運用我校的計算機設備，與專職電腦編程人員密切合作，設計編制了圖形軟件來輔助教學。我們先根據講解的需要設計出基本圖形，再配合編程人員利用計算機先進的繪圖系統進行繪製。在繪製過程中，我們利用畫面的連續移動構成動畫來體現切割、旋轉、移動等動態動作。在講解祖原理時，其主要內容為：兩個等高的幾何體，若被平行於底的平面截得的兩個截面面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。為了體現其中的關鍵點：兩個幾何體任意位置的平行截面相等，我們繪製了多幅不同位置截面的圖形，並將截面塗上鮮明的色彩，按順序編排好，連續播放時即形成了截面上下移動的動畫效果，使學生形象地認識到不同位置的平行截面處處相等。又如在講解錐體的體積公式推導時，由於要將三稜柱分割成三個三稜錐，圖形變化較大，學生不易理解，因此我們將切割過程從頭至尾展現給學生，在講解時又將所要比較的兩個三稜錐逐步恢復到切割前的狀態，再分開。隨着分開一復原一再分開的移動過程，學生們清楚自然地得出了所要推證的結論，同時也使得教師的講解輕鬆而且順理成章。有了錐的體積公式，我們又進一步依據大錐被平行於底的平面截去一小錐得到台體的思路，利用已推導出的錐體體積公式去推導台體的體積公式。我們利用動畫效果使一平面進行移動呈現出動割大錐的過程，即讓平面從大錐錐體某處以平行於底的方式插入，從另一側抽出，留下切割的痕跡，進而將截得的小錐移到其它位置，將剩下的台體展現給學生。這一過程的加入，在學生的頭腦中非常深刻地留下了台體與錐體的聯繫，可以説是過目不忘，收到了很好的效果。

二、充分利用計算機繪圖多功能的優越性，從多方位、多角度、多側面描繪立體圖形，解決平面立體圖形與真實立體圖形在視覺上的差異

我們在平面上繪製立體圖形就要考慮到視覺差異的問題。比如，在紙上畫一個立方體，它的某些面就必須呈平行四邊形，才給人一種“體”的感覺，而實際上立方體的各個面均為正方形。為了不使學生把直觀感覺當作概念，我們設計了一些旋轉變形動作。在講球的體積公式時，應用祖原理，找到了一個與半球體積相等的幾何體，即與半球等高的圓柱中間挖去一個圓錐，證明的關鍵是推導出二者在等高處的平行截面面積相等。從圖上看，這兩個截面分別為橢圓和橢圓環，而實際形狀應為圓和圓環。為了更形象地説明問題，我們將這兩個截面設計為從原位置水平移動出來，再水平旋轉90度使其成為豎直放置，這樣兩個截面就恢復了實際形狀。同時我們又讓環形截面中的小圓逐漸縮小至一點，使圓環變成與另一截面大小一樣的圓，通過二者色彩的互換閃爍，使學生形象直觀地感覺到是兩個面積相等的截面，然後通過理論證明它們的面積相等。這樣，從直觀到理論兩方面的配合，加深了學生的理解，使得這個難點順利解決。

三、利用多媒體輔助教學，引導學生通過觀察圖形主動積極地去尋找解題思路

現代教學論的思想核心是確認教師在教學中的主導地位的同時，認定學生在學習活動中的主體地位。因此教學的最終目的是啓發和調動學生的主動性、積極性，讓學生“會學”。在多媒體教學的嘗試中，為了打破傳統教學中的“老師講，學生聽”的習慣，我們將課上的習題“從一個正方體中，如圖那樣截去四個三稜錐後，得到一個正三稜錐，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？”根據題意設計成動畫情景。一個正方體依次被切去了四個角，把切去的部分放到屏幕的四角，中間剩下一個三稜錐，求三稜錐的體積。學生根據畫面的演示，立即想到剩餘部分是由整體減去切掉的。有了思路後，再從畫面中清晰地推導出每個角的體積是整體的1/6，進而得出所求體積為整體的1/3。這樣，通過畫面的演示，不需教師講解，學生自己就可以找到求解方法，同時在無形中途立了間接求體積的概念。通過多媒體教學，我們發現它具有不可比擬的優越性。首先，多媒體教學使課上教學省力；它能直觀、生動、形象地進行教學，有利於引起學生的注意力，充分調動學生的積極性，並且使教師的板書量大大減少。其次，多媒體教學增大了課容量，加強了知識間的連貫性。由於多媒體教學直觀、生動、形象地突出了教學重點，淺化了教學難點，使學生理解知識的進度加快，並且節省了教師反覆講解的時間，節省了課時，相對增大了課容量，突出了各部分知識的連貫性，取得較好的教學效果。 ^[1]