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穩定分佈
鎖定
- 中文名
- 穩定分佈
- 外文名
- stable distribution
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- α穩定分佈
- 屬 性
- 一類無窮可分分佈
- 舉 例
- 退化分佈、正態分佈、柯西分佈等
穩定分佈穩定分佈的定義
穩定分佈穩定性定義
如果對於任意正數A和B，存在正數C和一個實數D∈R，使得
定理1 如果對任意穩定隨機變量X，總均存在數
使得C滿足
穩定分佈吸引域定義
穩定分佈特徵函數定義
式中：
為符號函數。可見，
穩定分佈的特徵函數完全由4個參數
唯一確定。符合特徵函數式(4)的4個參數稱為標準參數系S，並記為
。
(1)
稱為特徵指數（Characteristic Exponent），它決定了穩定分佈的概率密度函數拖尾厚度。它的值越小，分佈的拖尾也就越厚，所以分佈的衝擊性越強，即偏離中值的樣本個數越多：隨着
值的不斷增大，分佈的拖尾將變淺，衝擊強度降低，如圖1和圖2所示。特別説明，
穩定分佈當
=2時退化為高斯(Gauss)分佈，當
=1並且
時為柯西(Cauchy)分佈，為此我們定義0<
<2為分數低階
穩定分佈，以區別於
=2的高斯分佈。
(2) γ為尺度參數(Scale parameter)或分散係數(Dispersion)，它是關於分佈樣本偏離其均值的一種度量，其意義類似於高斯分佈時的方差。實際上，在高斯分佈情況下γ為方差的兩倍。
(3) β為偏斜參數(Skewness parameter)，它決定了分佈的對稱程度。當β=0時，該分佈是對稱的，通常稱為對稱α穩定(Symmetric α-Stable，SaS)分佈。高斯分佈和柯西分佈都屬於對稱α穩定分佈，β>0和好β<0分別對應分佈的左偏和右偏。
圖1標準對稱α穩定分佈的概率密度函數
圖2α穩定概率密度函數的拖尾特性
(4) δ為位置參數(Location parameter)。考慮到特徵函數與其概率密度函數互為傅里葉變換，所以式4中的指數項
表徵了概率密度函數在X軸的偏移。對於
分佈而言，δ表示分佈的均值1<α≤2或中值0<α≤1。當γ=1且δ=0時，則α穩定分佈稱為標準
穩定分佈。
穩定分佈穩定分佈的性質
α穩定分佈
具有以下基本性質：
穩定分佈性質1
若
和
均是獨立的穩定隨機變量，那麼
其中
穩定分佈性質2
若
，並且
為非零實常數，
為實數，那麼
穩定分佈性質3
對於任意0<α<2，有
。對於β>0，稱
是左偏斜的：對於
β<0，稱
是右偏斜的。當β=1和β=－1時，
分別對應完全左偏斜和完全右偏斜。
穩定分佈性質4
當且僅當β=0時，
關於δ對稱的：當且僅當β=0且δ=0時，
關於0對稱。
穩定分佈性質5
若
，並且
那麼存在兩個獨立同分布的隨機變量
，具有分佈
使下式成立，即
穩定分佈性質6
當
並且γ取固定值時，如果
，且有
則對於所有的x滿足
穩定分佈性質7
若
，且
則對任意
有
