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矩陣相似
鎖定
相似是矩陣間的一種重要關係，在相似變換下矩陣的特徵值保持不變，相似矩陣在矩陣對角化及簡化矩陣計算方面有廣泛的應用。
- 中文名
- 矩陣相似
- 外文名
- matrix similar
- 應用學科
- 線性代數
目錄
- 1 定義
- 2 性質
- 3 矩陣相似充分必要條件
- 4 應用
矩陣相似定義
設A，B為數域P上兩個n階矩陣，如果可以找到數域P上的n階可逆矩陣X，使得
，則稱A相似於B，記作A~B。
矩陣相似性質
(1) 若A相似於B，則A等價於B（即A可通過初等變換化為B）
(2) 若A相似於B，則tr(A)=tr(B)
(3) 若A相似於B，則|A|=|B|
以上三條反之皆不成立
證明:若A~B，則存在可逆矩陣X使得
令
，
則
，即A與B等價，(1)成立
因
，於是有
反例：
，
顯然A與B等價，並且tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，但A與B不可能相似(因A=E，對任意的n階可逆矩陣X，都有
)。
相似是矩陣間的一種重要關係，這種關係具有以下三個性質：
1.反身性：
。這是因為
（其中
為單位矩陣，下同）。2.對稱性：如果
，那麼
。事實上如果
，那麼有X使
，令
，就有
，所以
。3.傳遞性：如果
，
，那麼
。因為若
，
，即存在X，Y使
，
。令
，就有
，因此有
。(具有以上三個性質的關係統稱為等價關係)
矩陣相似矩陣相似充分必要條件
設A，B是數域P上兩個
矩陣：
(2) A與B相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子。
(3) 兩個同級複數矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。
[1]
矩陣相似應用
例：已知A~B，其中
，
。
(1)求a,b的值；(2)求可逆矩陣X使
；(3)求
。
解：(1)因tr(A)=tr(B)及|A|=|B|可得a=5,b=3
(2)顯然A的特徵值為2，1，5，即B的特徵值也為2，1，5
由
可得對應特徵向量
，
，
令
，則有
。
(3)
。
