畢達哥拉斯樹

畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限

圖1.畢達哥拉斯樹(7張)

重複的圖形。又因為重複數次後的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”。 ^[1] 

直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。而同一次數的所有小正方形面積之和等於最大正方形的面積，直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。

三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。根據所做的三角形的形狀不同，重複做這種三角形的畢達哥拉斯樹的“枝幹”茂密程度就不同。

畢達哥拉斯樹的建立是從一個大正方形開始的，在該正方形的上方建立兩個全等的較小正方形，三個正方形間呈現一個等腰直角三角形，故較小正方形的邊長為大正方形邊長的√2/2。對這兩個較小的正方形重複這一過程，得到四個更小的正方形，如此繼續下去。若設第一個大正方形的邊長為1，在第n級時，會增加2n個小正方形，每個小正方的邊長是 (√2/2), 故每一步增加的面積均為2n×(½√2)=1，從這一點來看，當n趨近於無窮時，畢達哥拉斯樹的總面積也趨於無窮。但實際上的情況是，當n大於5時，所增加的小正方形會發生互相重疊，導致畢達哥拉斯樹的面積是有限的，它侷限在一個6×4 的盒子裏，但具體值不易求出。

畢達哥拉斯樹的一個變種是改變正方形之間的夾角，比如第一步時讓兩個較小的正方形和大正方形之間的夾角為60度，三個正方形之間的三角形成為等邊三角形，這導致組成樹的每一個正方形的邊長都相等。這一變種到了第四步開始就會發生重疊，最後形成了全等的正方形組成的一個大六邊形。