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生成矩陣
鎖定
生成矩陣基本介紹
線性分組碼的一個碼組內有
個碼元,其中
個信息碼元,
個監督碼元,
,表示為
碼。
碼可以表示
個狀態,即可以有
個碼字,但其中只有
個是許用碼字,其餘
個為禁用碼字。許用碼字中的r個監督碼元與k個信息碼元之間成線性關係。
[2]
下面以(7,4)碼為例,説明生成矩陣的概念。
(7,4)線性分組碼的一個碼字C中有7個碼元
,其中
為信息碼元,
為監督碼元。監督碼元與信息碼元之間的關係可以用以下關係式表示:
式中,符號“+”為模2加。此(7,4)碼的7個碼元與信息碼之間的關係可表示為矩陣方程,即
由式
可求得(7,4)線性分組碼的16個許用碼字為:0000000,0001011,0010101,0011110,0100110,0101101,0110011,0111000,1000111,1001100,1010010,1011001,1100001,1101010,1110100,1111111。
由(7,4)碼的16個許用碼組可以看出:任意兩個許用組之和仍為一許用碼組,最小碼距為非零碼組的最小碼重。這就是線性分組碼的封閉性。可以將式
生成矩陣重要特性
(2)線性分組碼的每個碼組(字)是生成矩陣
各行矢量的線性組合。
顯然,當
為全零信息分組時,
為全零序列。
(3)
的每一行是一個碼字。
因為若信息分組
(即
,其他為0),則
;若
(即
,其他為0),則
;依此類推,若
(即
,其他為0),則
。
(4)生成矩陣
的各行線性無關。
(5)如果生成矩陣
不具備式
的形式,則由該生成矩陣產生的
線性分組碼為非系統碼。然而,對於任意的
線性分組碼,總可通過初等行變換及列交換將它的非系統碼生成矩陣變換為另一等價的系統碼的生成矩陣。此兩等價生成矩陣生成的兩個
線性分組碼的檢、糾錯性能是相同的。
[3]