瑞利原理

用以計算振動系統固有頻率的近似值，特別是最小固有頻率（即基頻）的上界的一個原理，是英國的瑞利於1873年提出的。它是振動理論中的一些極值原理以及計算固有頻率和振型的瑞利－里茲法的理論基礎。

對於一個在穩定平衡位置附近振動的保守系統，假設它以某一滿足變形連續條件和位移邊界條件的可能位移為振型作簡諧振動，它的角頻率為ω。由於機械能守恆,系統最大勢能V_max等於最大動能T_max 。 T_max可寫成T_max=

T_max槓，式中T_max槓為最大動能係數。最大勢能和最大動能係數之比R=

稱為瑞利商，它是可能位移的泛函。

瑞利原理可表述為：當可能位移取某階固有振型時，瑞利商取駐值，且該值就是對應階固有角頻率的平方。特別地，當可能位移取對應於基頻的振型時，瑞利商取最小值，其值就是基頻的平方。

將瑞利原理應用於固有頻率和振型的近似計算，就得到著名的瑞利－里茲法。它將可能位移表達成若干個給定的可能位移的線性組合，從而使瑞利商成為這個線性組合的係數的函數。利用瑞利商的駐值條件將問題化為以這些係數為未知量的代數特徵值問題，而特徵值就是固有頻率近似值的平方，它們可以很容易地求出。其中，最小特徵值是基頻平方的偏大的近似值。再求出特徵矢量就得到振型。

作為特殊情形，若可能位移只用一個給定函數近似表達，就得到瑞利法，用它計算基頻的上界非常簡便有效。若可能位移和振型的差為一級小量，則用瑞利法求出的頻率的誤差為二級小量。例如，對一根兩端固定且長為l的均勻弦,可能位移可以取y(x)=1-(

)

，x>=0當時x<0，y(x)=y(-x),n>=1。與此對應的瑞利商為：

式中T為弦中的張力；m_l為單位弦長的質量。由此得到的基頻f_l的近似值

/2

。若分別取n=1、2和對應於R取極小時的n=

+1/2，則f_l對應的近似值分別為（

）（

）、（

）（

）以及（

）（

）。而兩端固定的均勻弦的基頻的準確值為（

）（

）。所以基頻的上述三個近似值和準確值的相對誤差為 0.1、0.007和0.001。

隨着科學的發展，瑞利商和瑞利原理的應用遠遠超出了原來的範圍，它在許多物理和數學領域的理論分析和數值計算技術中起着重要的作用。