牛頓插值法

如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。利用插值基函數很容易得到拉格朗日插值多項式，公式結構緊湊，在理論分析中甚為方便，但當插值節點增減時全部插值基函數均要隨之變化，整個公式也將發生變化，這在實際計算中是很不方便的，為了克服這一缺點，提出了牛頓插值。

牛頓插值法的特點在於：每增加一個點，不會導致之前的重新計算，只需要算和新增點有關的就可以了。

假設已知n+1n+1個點相對多項式函數ff的值為：(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯,(xn,f(xn))，求此多項式函數f。

先從求滿足兩個點(x0,f(x0)),(x1,f(x1))的函數f1(x)説起：

假設f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)，

我們增加一個點，(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，求滿足這三個點的函數f2(x)：

假設f2(x)=f1(x)+b2(x−x0)(x−x1)，

以此類推，我們得到牛頓插值法為：