無窮邏輯

無窮邏輯是由一般無窮邏輯、無窮深邏輯、無窮可容邏輯、無窮概率邏輯等構成的邏輯羣。它們是經典一階邏輯沿着四個方面之一作無窮擴張的邏輯，即(1)沿邏輯聯結詞(合取和析取)運算規模作無窮擴張；(2)沿量詞(全稱量詞和存在量詞)運算規模作無窮擴張；(3)沿函數和謂詞的元數作無窮擴張；(4)沿公式複雜度作無窮擴張。無窮邏輯是20世紀70年代以來發展起來的一門邏輯科學。在經典一階邏輯的各種擴張中，它的建立和發展讓人們更深刻地瞭解了經典一階邏輯的各種重要的元數學性質(例如緊緻性定理)，拓寬了研究現代邏輯的領域(例如有窮邏輯的緊緻性為何在無窮邏輯中必須相對化或代之於新的緊緻性)。無窮邏輯有可靠性定理和完全性定理、內插定理、Lovenheim-Skolem定理和部分同構擴張定理。是一般邏輯(general logic)、廣義量詞邏輯、概率邏輯、抽象模型論、廣義遞歸論、可容集合論、可構成集合論、描述集合論等邏輯理論的基礎之一。無窮邏輯對無窮這個概念做了比經典一階邏輯更深入、更精細的研究，從而大大地拓寬了對無窮這個概念的理解。

將一階邏輯中的公式和推理的長度推廣至無窮長得到的。在它的公式中，可以出現無窮多個公式的合取式或析取式，也可以出現無窮多個量詞。由於一階邏輯的模型論應用到數學的其他分支時受到了一定的限制，因而產生了無窮邏輯的模型理論。在描述集合論中也使用這種邏輯。1963年前後，因C.卡普及D.S.斯科特等的工作而發展起來，在1969年前後，J.巴威斯及M.馬凱依等又在這個方向上作出了重要的貢獻。

如果α、β是兩個無窮基數(見集合論)，那麼無窮邏輯Lαβ的形式語言與一階邏輯的形式語言相似,即除了有α個變元，可以在基數小於α的公式集上構作合取式或析取式,以及允許在小於β個變元上加全稱量詞或存在量詞外,結構與一階邏輯相同。因此,L就是通常的一階邏輯,另一簡單情形是L。它的公式中允許出現可數無窮個公式的合取式或析取式，但只能出現有窮個量詞。例如，可用L的一個句子表示撓羣的公理凬x∨{n·x=0:0nL應用最廣泛，且對它的研究也最深入，因此以L為例，敍述無窮邏輯的一些主要結果。

可以用L邏輯的一個句子刻畫可數模型的全部性質，也就是説,如果L是一個只有可數個符號的語言，M是L的一個可數模型,那麼存在L中的一個句子φ,使得對於L的所有可數模型N，N≌M的必要且充分條件是N|=φ。此定理是斯科特於1965年證明的。

為保持L邏輯的完備性，必須引進無窮長的推理規則，並且將形式證明的長度也推廣至無窮。

關於L的公理和推理規則上加上諸如公理:∧φ→φ，對於每個公式φ∈φ；推理規則式中φ是L中公式的可數集合。容易看出，上述的公理及推理規則的長度可以是無窮的。無窮邏輯的形式證明的定義同一階邏輯。易知，L的形式證明的長度必小於ω1（即為可數無窮）。

有了上述概念，就可以陳述關於L的完備性定理（卡普，1964）:一個L中的句子φ是定理，當且僅當它是有效的。

假定L中僅有可數個符號,那麼在L中經常遇到的困難是它的公式集是不可數的。而在應用中常常只需考慮可數個公式就夠了。因此需要對L的句子集（也記為L）加以限制，建立起滿足一定性質的可數的公式子集的概念。如果用 A表示滿足一定性質的可數集合，則稱為L上的一個斷片。

無窮邏輯L失去了一階邏輯的兩個基本性質：緊緻性定理及勒文海姆－斯科朗－塔爾斯基定理。為了在L的公式集的子集上建立緊緻性，引進了可允許集的概念。當A為可允許集時,LA就稱為可允許斷片,巴威斯在L的可允許斷片LA上建立了相應於通常一階邏輯的緊緻性定理(1969)。 ^[1] 

無窮深邏輯是無窮邏輯的一種。主要思想是用樹(通常是無窮高的)作為公式的形成規則及其語義解釋，並用對策論(game theory)方法給出不同的語義來解釋它們。其語形結構是一種樹狀結構，這類公式有很強的表達力，其模型論保持通常無窮邏輯的許多重要結果，豐富對無窮這個概念的理解。由於無窮深語義的多樣性，產生了可滿足關係的多樣性，有助於對邏輯這個概念的更深理解。

無窮可容邏輯是無窮邏輯的一種。是以可容集合論KPU系統及其子系統或擴張為元理論的邏輯。其主要思想是根據可容集合論KPU系統及其子系統或擴張，把所有的邏輯概念集合論化。這些邏輯概念包含“語言”、“模型”、“公式”、“可滿足”和“有效性”。無窮可容邏輯是研究可容集的∑₁緊緻性和駱文海斯科林定理的有力工具。

無窮概率邏輯是無窮邏輯的一種。它的主要思想是在一般無窮邏輯中引入概率量詞來代替全稱量詞和存在量詞。它的公理化系統也是在一般無窮邏輯系統中刪去關於全稱量詞和存在量詞的公理和推理規則，代之以關於概率量詞的公理和推理規則。這種邏輯的模型論引入概率測度來表示概率量詞的直觀意義。它有可靠性定理和完全性定理。作為無窮概率邏輯的一個變種的無窮可容概率邏輯還有巴威斯(Barwise)緊緻性定理。 ^[1]