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無偏估計量
鎖定
- 中文名
- 無偏估計量
- 外文名
- unbiased estimator
- 適用範圍
- 數理科學
- 應 用
- 數理統計
- 作 用
- 判斷估計量的優劣
無偏估計量定義
設
是來自總體X的一個樣本,θ是包含在總體X的分佈中的待估參數。
若估計量
的數學期望
存在,且有
,則稱
是θ的無偏估計量。
無偏估計量實際意義
例如,設總體X的均值𝜇及方差σ²都存在但均未知,因為
,
,這就是説不論總體服從什麼分佈,其樣本均值是總體均值的無偏估計,樣本方差是總體方差的無偏估計。若
,則稱
是θ的漸進無偏估計量。
無偏估計量結論
無偏估計量結論一
證明
因為
與X同分布,所以
。
無偏估計量結論二
對於總體X,設E(X)=𝜇,D(X)=σ²都存在,且σ²>0,若𝜇,σ²均未知,則σ²的估計量
是有偏的。另一方面,由於
,所以
是σ²的漸進無偏估計量。
證明
因為
,而
故
所以
是σ²的有偏估計。
若在
的兩邊同乘
,即
,而
。
無偏估計量應用
在實際應用中,對整個系統(整個實驗)而言無系統偏差,就一次實驗來講,
可能偏大也可能偏小,實質上並説明不了什麼問題,只是平均來説它沒有偏差,所以無偏性只有在大量的重複實驗中才能體現出來;另一方面,無偏估計只涉及一階矩(均值),雖然計算簡便,但往往會出現一個參數的無偏估計有多個,而無法確定哪個估計量好。因此,無偏性的作用在於可以把重複估計中的各次誤差通過平均來消除。這並不意味着該估計量在一次使用時並能獲得良好的結果。在具體問題中,無偏性是否合理,應當結合具體情況來考慮。在有些問題中,無偏性的要求可能會導出不同的結果來。
[2]
事實上,
中的每一個均可作為θ的無偏估計量,究竟哪個估計量更合理,就看哪個估計量的觀察值更接近真實值,即估計量的觀察值更密集地分佈在真實值附近。而方差能反映隨機變量取值的分散程度,所以無偏估計以方差最小者為最好、最合理,為此後人引進了估計量的有效性概念。