清宮定理

設P、Q為△ABC的外接圓上異於A、B、C的兩點，P關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線於D、E、F，則D、E、F在同一直線上

P、Q兩點和D、F、E、三點有如下關係：

將三角形的三邊或者其延長線作為鏡面，則從P點出發的光線照到D點經過BC反射以後通過Q點，從P點出發的光線照到E點經AC的延長線反射後通過Q點，從P點出發的光線照到F點後通過Q點

從而，如果P、Q兩點重合，則D、E、F三點成為從P（即Q）點向BC，CA，AB或者它們的延長線所引的垂線的垂足。清宮定理就相當於西姆松定理。

我們決定將證明清宮定理的方針確定如下：因為D、E、F三點中，有兩點在△ABC的邊上，其餘一點在邊的延長線上，

如證明

，

則根據梅涅勞斯定理的逆定理，就可證明DEF三點在同一直線上。

首先，A、B、P、C四點共圓，因此

∠PCE=∠ABP

但是，點P和V關於CA對稱

所以∠PCV=2∠PCE

又因為P和W關於AB對稱，所以

∠PBW=2∠ABP

從這三個式子，有

∠PCV=∠PBW

另一方面，因為∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以

∠PCQ=∠PBQ

兩式相加，有

∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ

即∠QCV=∠QBW

即△QCV和△QBW有一個頂角相等，因此

但是

，

，所以

同理

於是

根據梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點在同一直線上 ^[1]