流體運動穩定性

某種形態的流體運動受初始擾動後恢復原來形態的能力。若運動能 恢復原來形態，則流體的運動為穩定的，反之為不穩定的。1883年O.雷諾首次做了層流過渡為湍流的實驗，後來人們認識到這種過渡是層流的一種失穩現象。不少自然現象和工程技術問題，例如颱風形成、大氣波動、邊界層過渡、激光核聚變中球面壓縮等，都涉及流體運動穩定性問題。

流體運動穩定性理論研究流體運動穩定的條件和失穩後流動的發展變化，包括過渡為湍流的過程。從理論上研究流體運動的穩定性時，常從擾動量（包括擾動速度等）變化着手。如果假定擾動為無限小，可建立小擾動理認，即線性化理論；如果擾動為有限值，可建立有限擾動理論。

層流向湍流過渡，必從失穩開始。但失穩後可能轉變為另一種層流，而不一定過渡為湍流。Л.Д.朗道1944年提出一種可能的過渡形式：隨着某流動參數（例如雷諾數）的逐漸增大，原先的層流失穩並變為另一種穩定層流；參數繼續增大時，此層流將再失穩而變為另一種更復雜的層流，如此繼續下去，終於失去層流的規則性而轉變為湍流。這種過程稱為重複分岔。小擾動理論可用於求第一個分岔點。對於某些流動，例如熱對流和兩同軸圓筒間的庫埃特流，實驗已證實存在第一和第二個分岔點；而另外一些流動，例如圓管中的泊肅葉流（見管流），一旦失穩，總是立即轉變為湍流。

兩種不同流體有一個明確界面時的穩定問題。包括以下兩個問題。

若兩種液體均靜止，且界面為水平面， 其平衡穩定性問題稱為瑞利-泰勒穩定問題。在小擾動理論中，將擾動分解為各種不同波數的擾動波。不同波數的擾動具有不同的增長率。若所有擾動波的增長率均小於零，則原靜平衡形態是穩定的；若存在增長率大於零的擾動波，就是不穩定的。若上下兩層流體的常值密度分別為ρ1、ρ2，並且所佔空間在各方面都趨於無窮遠，根據小擾動理論可以證明：當ρ1<ρ2時，界面穩定；反之不穩定。而且當ρ1>ρ2時，界面的表面張力可使波數大於某一定值的擾動波衰減，但不能使所有波數的擾動波衰減，因而不改變穩定條件。

當流體沿界面法線方向加速運動時，也有界面穩定問題。例如，設界面為球面，當其向心壓縮時，也會有失穩問題，這時球形界面會被破壞。

即兩種流體作平行於水平界面的相對運動時的運動穩定性問題。最簡單的例子是兩種流體的速度均為常值且方向相同。用v1、v2分別表示上層和下層流體的速度,設ρ1<ρ2,且流體在各方向都伸展至無窮遠,當不考慮流體粘性和界面張力時,按照小擾動理論，不論v1-v2為何值，界面都是不穩 定的。若考慮界面的表面張力,並用σ表示，則當相對速度滿足下式時不穩定，

式中g為重力加速度。如果用此模型表示海面由於風吹而引起波浪，則可算出：v1－v2=6.50米/秒時界面失穩而起浪。實際上產生海浪的原因很多，風速遠小於此值時也可有浪。但觀察發現，風速達到此值時，碎浪和蒸發率將突然增加。此模型的界面是流速不連續面。有的學者還提出兩種流體速度在界面處連續的其他模型。

流體受熱不均勻時的穩定問題。1900年H.貝納爾做了如下實驗：在温度均勻的水平金屬板上盛一薄層液體。當加熱金屬板但液體上下面温差不大時，熱量通過熱傳導方式自下向上傳遞，液體保持靜止。當温差達到某值時，液體因靜平衡失穩而開始流動。此流動為有規則的層流,流場呈現規則的胞狀結構（圖1）。每一胞狀結構中，流體自中心至邊緣形成環流。

英國學者瑞利首先用小擾動理論研究此問題，發現穩定性取決於瑞利數：

，式中g、β、k、ν分別為重力加速度、液體的體積膨脹係數、熱導率、運動粘性係數；d為液體層厚度；ΔT為液體上下面温差絕對值。當液體上下兩面均與金屬板接觸而無自由表面時，臨界Ra值為1708。此值與實驗結果很吻合。

如果液體有自由表面，表面張力對這種穩定性有影響。當液體很薄時，表面張力可促使更早發生不穩定現象。隨着瑞利數增大，胞狀結構可以再次失穩而形成新結構，直至規則結構消失。實際上，熱對流失穩是温差使液體在鉛直方向出現密度梯度而產生的。溶液濃度在鉛直方向有梯度所引起的密度梯度以及其他原因，也會引起對流失穩。

當靜止的球狀液體或兩同心球殼間的液體由於內部球對稱熱源引起徑向温度梯度，並且受球對稱引力場的作用時，同樣可能導致靜平衡狀態的失穩而形成對流。這一模型和地球物理的某些問題有關。例如，地心物質的對流有可能成為地磁場的形成和變動的原因。當然，研究這類問題時，必須考慮旋轉作用。

當兩同軸圓筒間充滿液體，並使圓筒低速旋轉時，筒間液體運動可維持層流狀態，其流線均為同軸圓。流速分佈如下：

v=Ar+B/r，式中r為到軸的距離;A、B為同圓筒轉速和半徑有關的常數。這種流動又稱庫埃特流動。

在一定條件下，這種層流在受到擾動時會失去穩定性。利用小擾動理論，可將擾動分解為各種沿軸向按正弦和餘弦規律分佈的波。若所有擾動波的增長率均小於零，層流是穩定的；若至少有一個擾動波的增長率大於零，層流就不穩定；若其他擾動波均衰減，但有一個擾動波的增長率為零，則稱為臨界情況。

G.I.泰勒1923年首先研究並解決了當兩圓筒半徑差遠小於內筒半徑時的流動穩定性問題。他直接尋找到某參數平面（例如Ω1/ν-Ω2/ν平面,Ω1、Ω2分別為內筒和外筒的角速度,ν為流體運動粘度）內對應於臨界情況的點,從而得到劃分穩定與不穩定參數區的中性曲線(圖2)。圖中R1和R2分別為內筒和外筒的半徑。圖中曲線為理論計算結果，點線為實驗結果，二者很吻合。層流失穩後，形成定常的二次流，稱為泰勒渦（圖3）。若在液體中加入一些示蹤微粒，可以清楚地看到此渦。繼續改變參數值，這種層流可再次失穩而形成更復雜的二次流。此時泰勒渦在圓周方向呈波狀，且此波在圓周方向有一定傳播速度。決定此種流動狀態的是泰勒數Ta：

式中η=R1/R2，μ=Ω2/Ω1。在外筒不轉，圓筒極長，且(R2-R1)/R1很小的條件下， 泰勒求得的臨界Ta值為3390。此值和泰勒渦尺寸的理論值都與實驗很吻合。但二次流的速度幅值必須考慮非線性影響才能求得，最簡單的方法是利用能量平衡法。但是也可以利用弱非線性理論來研究。第二次失穩後的情況較為複雜。因為實驗所用圓筒長度總是有限的，考慮兩端的邊界條件又會給理論分析帶來困難。至少到1980年還沒有得到有限長圓筒的完整理論結果，不同研究者所得的實驗結果也不一致。例如，二次失穩後的渦環尺寸、沿圓筒周向的波數等就沒有公認的結論。

兩同軸旋轉圓筒間的流動穩定性問題雖然本身實際意義不大，但由於它的實驗裝置簡單，而結果的某些部分與朗道的重複分岔理論吻合，所以仍被認為是研究過渡現象的一個好模型。

平行流動包括圓管內的泊肅葉流動，兩平行平板間的泊肅葉流動、庫埃特流動以及二者的組合。邊界層中的層流嚴格地説不是平行流動，因為它的流線並不嚴格平行，但常用同樣方法處理。

這類流動的特點是一旦失穩，立即轉變為湍流而不再形成層流二次流。如果應用小擾動理論，問題歸結為研究一特徵值問題。以兩平行平板間的平面流動為例，就是要研究下列奧爾-索末菲方程的特徵值分佈：

當y=±1時，Φ=dΦ/dy=0，式中Φ≡Φ（y）為未知函數；Φ（y）e為擾動的流函數；y為流動垂直方向座標；Re為雷諾數； ū=ū（y）為未擾層流速度；a為擾動波波數；C為未知特徵值；

。

在給定Re的情況下，若對一切a，所有C值虛部都小於零，則所有擾動均衰減，未擾層流是穩定的。若有某些C值虛部大於零，則對應的擾動增長，未擾層流是不穩定的。

奧爾-索末菲方程在20世紀初即已提出，但直至1944年林家翹才比較徹底地解決了這個數學難題，得到了Re－a平面內劃分穩定和不穩定區域的中性曲線（圖4，圖中C_i>0的區域不穩定，C_i=0的線是中性曲線），從而求得臨界雷諾數Re_cr約為6 000。通過電子計算機，用數值計算方法求得的精確的臨界雷諾數為5 772。但實驗未能很好地證實這一臨界值，一般當雷諾數遠小於此值時，層流即轉變為湍流。

用同樣方法研究邊界層的層流穩定問題，可得類似的中性曲線。理論預測的中性波後來得到了實驗證實。但小擾動理論並不能很好説明過渡現象。對圓管內的泊肅葉流動，用小擾動理論未能求出不穩定擾動波，也未能最終證明：無論雷諾數為何值，擾動都衰減。因而即使在小擾動理論範圍內,問題還沒有徹底解決。另外,從實驗來看,一般當雷諾數超過2000時,層流即可轉變為湍流。但若採取措施,儘量減小擾動,直至雷諾數為100000時仍可能保持層流。實驗與小擾動理論之間的不一致，使人有理由認為在小擾動理論預測為穩定、但實際已發生過渡現象的雷諾數範圍內，未擾層流對小擾動雖是穩定的，但對有限擾動可能是不穩定的。因此要全面解決問題，必須考慮有限擾動。

60年代初期，逐漸形成一種弱非線性理論。它實際上是從天體力學和非線性振動理論中常用的小參數法、漸近法等引伸出來的。用這種理論可以研究在什麼條件下，除未擾層流解外，還存在其他有定常幅值的解及其穩定性問題。弱非線性理論本質上也是一種對某小參數展開的漸近法，因此它雖不要求擾動無限小，但仍要求擾動不能太大。因此，它的適用範圍有限，不能充分説明層流到湍流的過渡現象。

除非線性問題外，擾動的三維性質也是重要因素。對於平面平行層流，理論上雖然已經證明二維擾動最易引起小擾動失穩，但實驗已經證實，在向湍流的過渡中，三維擾動起着重要的作用。因此理論上考慮有限擾動問題時，不能僅限於二維擾動。

1.C. C. Lin, The Theory of Hydrodynamic Stability, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1955.

2. S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Clarendon Press, Oxford, London, 1961.

3.D. D. Joseph, Stability of Fluid Motion, Vol. 1～2, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

4. H. L. Swinney and J. P. Gollib, Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.

5.詞條作者：周恆《中國大百科全書》74卷（第一版）力學 詞條：流體力學 中國大百科全書出版社 ，1987 ：345-346頁