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波萊爾－坎泰利引理
鎖定
波萊爾－坎泰利引理是
概率論中的一個基本結論。大致上，波萊爾－坎泰利
引理説明了，如果有
無窮個
概率事件，它們發生的概率之和是有限的，那麼其中的無限多個事件一同發生的
概率是零。這個定理實際上是測度論的結論在概率論中的應用，得名於
數學家埃米爾·波萊爾與弗朗西斯科·保羅·坎泰利。
[1]
波萊爾－坎泰利引理概率空間中的定理
設E
n為某個
概率空間中的一個事件序列。波萊爾－坎泰利引理説明： 如果所有的事件E
n發生的概率P的總和是有限的，
其中的
是指一個事件序列的
上極限。由於每一個事件都是若干個可能結果的集合，所以
就是指使得序列
裏面有無限多個事件一起發生的結果（outcome，或稱樣本輸出）
的集合。準確來説，
波萊爾－坎泰利引理證明
設(
En)是某個
概率空間裏的一系列事件。假設這些事件發生的概率之和是有限的：
[2]
這等價於説，正項
無窮級數收斂。所以，根據無窮級數的性質，級數的餘項
的下極限是0：
波萊爾－坎泰利引理推廣
對於更一般的
概率空間，波萊爾－坎泰利引理可以敍述如下：
設μ是一個集合
X上的
測度，裝備了σ-代數
F。設(
An)為
F中的一個序列。如果：
- 參考資料
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1.
Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, (編) Hazewinkel, Michiel, 數學百科全書, Springer, 2001
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2.
Romik, Dan. Probability Theory Lecture Notes, Fall 2009, UC Davis.
