泊松積分公式

泊松積分公式是圓域狄利克雷問題的求解公式。

設函數u(z)在圓|z|<R內調和，在|z|≤R上連續，則對於|z|<R內任意一點z=re^iφ，有圓內泊松公式

泊松積分公式表明：如果知道調和函數在圓周l上的點(R,θ)的值是u(R,θ)，便能找出它在圓內任一點(r,φ)的值；換句話説，任何一個調和函數在圓內的值都可以用它在圓周上的值來表達。

在泊松公式中，令r=0，此時，點z則變成圓心了，於是有

由此可見，調和函數在圓心點值等於它在該圓周界上的值的算術平均值，上式稱為調和函數的中值公式。 ^[1] 

(Dirichlet's problem)

狄利克雷問題亦稱第一邊值問題，是調和函數的一類重要邊值問題。求一個在區域D內調和並在(DU∂D)上連續的函數 u(z)的問題，要求它在∂D上取給定的連續函數φ(ξ)（ξ∈∂D）。