正交表

正交表例如L₉（3⁴），表1-1， 它表示需作9次實驗，最多可觀察4個因素，每個因素均為3水平。一個正交表中也可以各列的水平數不相等，我們稱它為混合型正交表，如L₈（4¹×2⁴），表2-1 ，此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。根據正交表的數據結構看出，正交表是一個n行c列的表，其中第j列由數碼1，2，… Sj 組成，這些數碼均各出現n/Sj 次，例如表1-1中，第二列的數碼個數為3，S=3 ，即由1、2、3組成，各數碼均出現3次。

表1-1

表2-1

1.正交表具有以下兩項性質：

⑴每一列中，不同的數字出現的次數相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數碼“1”與“2”，且任何一列中它們出現的次數是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出現數均相等。

⑵任意兩列中數字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列（同一橫行內）有序對子共有4種：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）。每種對數出現次數相等。在三水平情況下，任何兩列（同一橫行內）有序對共有9種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每對出現數也均相等。

以上兩點充分的體現了正交表的兩大優越性，即“均勻分散性，整齊可比”。通俗的説，每個因素的每個水平與另一個因素各水平各碰一次，這就是正交性。

2.交互作用表 每一張正交表後都附有相應的交互作用表，它是專門用來安排交互作用試驗。下表就是L₈（2⁷）表的交互作用表。

表3-1

正交表具有以下兩個特點。正交表必須滿足這兩個特點，有一條不滿足，就不是正交表。

1） 每列中不同數字出現的次數相等。這一特點表明每個因素的每個水平與其它因素的每個水平參與試驗的幾率是完全相同的，從而保證了在各個水平中最大限度地排除了其它因素水平的干擾，能有效地比較試驗結果並找出最優的試驗條件。

2） 在任意2列其橫向組成的數字對中，每種數字對出現的次數相等。這個特點保證了試驗點均勻地分散在因素與水平的完全組合之中，因此具有很強的代表性。

正交表的構造需要用到組合數學和概率學知識，而且如果正交表類型不同，則構造方法差異很大，甚至有些正交表其構造方法到目前還未解決。下面以正交表4-1為例，介紹一種L₉[3⁴]類型正交表的構造過程：

1）確定正交表的行和列

正交表4-1共有四個因素，每個因素有3個水平，共需安排9次試驗。因此，正交表4-1是一個4列、9行的表。生成正交表的表頭如表4-1所示。

表4-1

2）確定正交表的內容

對每個因素的水平進行編號，分別為1、2、3，並將試驗按照水平數3進行分組，即每三個試驗為一組。

對於第一列：第一組試驗中，全部使用因素1的第1個水平；第二組試驗中，全部使用因素1的第2個水平；第三組試驗中，全部使用因素1的第3個水平；

對於第二列：每一組試驗中，都分別使用因素2的三個水平1、2、3；

對於第三列：每一組試驗中，每一個水平編號的確定方法是基於1、2、3的某種排列組合方式（具體見表1-1）；

對於第四列：每一組試驗中，每一個水平編號的確定方法也是基於1、2、3的某種排列組合方式（具體見表1-1）。

3）生成正交表。

將每因素的水平編號填入表中可得正交表如表5-1所示。

表5-1

(orthogonal array)

正交陣列是一類組合設計。

設 A 是 v 元集 X 上的

矩陣，若對任意

列所構成的子矩陣，X 上的每一個 d 元排列作為子矩陣的行各出現λ 次，則稱 A 為大小 N，約束數 d，水平數 v，強度 d 和指數λ 的正交陣列。在試驗設計中稱正交表，記為

。由定義有

。

強度 2 的正交陣列記為

，當λ=1 時簡記為

的存在性等價於橫截設計

的存在性。

的存在性則等價於 k-2 個 v 階相互正交拉丁方的存在性。 ^[2]