正五胞體

正五胞體(5-cell)，又作正四面體錐(hyperpyramid)，4-單形（4-simplex），是。

其施萊夫利符號是{3,3,3}，頂點圖(Vertex figure)是正四面體，在正五胞體中每條稜上有三個正四面體

一般而言，它是正四面體的四維類比

當我們看一個三維的物體的時候，我們看見的是它的二維投影。同樣的道理，當四維生物看一個四維的物體的時候，它的眼中也會呈現一個三維的投影。不妨用我們的三維世界作為四維生物的“眼睛”，去表示一個多胞形的投影吧！

我們都知道，在外面作一個正三角形，中心做一點向外面連線，就得到一個正四面體的投影，如右圖，這也是當我們的眼睛正對着正四面體的一個頂點的時候看到的樣子。

現在，我們繼續類比，把正四面體的投影類比到正五胞體的三維投影上來：首先在外面做一個正四面體框架，然後找到它的幾何中心定一個點，再將這個點向“外面”的四個點連上線，如圖1。

但看到圖1你可能不理解這是個什麼東西，實際上這只是一個三維的投影（圖片嘛，又要把這個三維投影再投影到二維上），正五胞體在我們這個三維世界上是不存在的，但是我們仍然可以去理解，理解四維空間的種種奇特之處。

圖1確確實實是表現了正五胞體的三維投影，但實際上它不是平行投影來的，這種投影叫“施萊格爾投影”，是在它的外接球（四維的是外接一個“超球”）上取一點作的透視投影——這個施萊格爾投影的“內部”的那一點看上去比外面四個點明顯要小一些。

算上“最外部”的那個四面體，正五胞體一共由五個正四面體組成，也就是有五個“胞”（cell，指組成高維多胞形的三維表面）（有點廢話呵呵）之後我們就得到正五胞體的一些數據

胞(正四面體)數：5，面(正三角形)數：10，稜數：10，頂點數：5

將一個多面體的表面不斷膨脹，可以讓它的所有表面變成球面。變成一個球后再將球面投影到無窮大的平面上，這就是二維球極投影(如圖2)

同樣，四維的物體也可以通過球極投影把它的三維表面展現在三維上。將正五胞體的三維表面不斷向它的外部膨脹變成“超球”，再把超球的表面投影進平坦的三維空間。

圖3就是正五胞體的三維球極投影，和施萊格爾投影一樣，投影中心的那個點實際上比外面四個點要小一點。

四維的正五胞體可以不經過三維而直接投影到二維上，但只能表現一些點與線之間的連接關係，如圖4。

實話説這個投影是怎麼寫入五個點的座標投影得到的，不過這不重要，作為四維單形的正五胞體就是這麼“簡單”，作一個正五邊形，每兩點兩兩連線，這就是它的二維線架正投影（沒錯，是正的）

一個四維物體的二維正投影其實不止一種的，不同的投影用來抽象表現這個東西不同的特性，正五胞體的二維投影英文維基上有很多，但為了表現那些特性，或多或少都有幾條線段重合，這裏略去

多面體上有二面角，那多胞體自然有二胞角，所謂二胞角，就是兩個立體的夾角——這個在四維幾何學上經常用到。

對於的二胞角的求導是要用到四維解析幾何慢慢求的，太麻煩，不妨就用類比法去求：

二維正單形是正三角形，它的“二邊角”（也就是夾角）是60°，用反三角函數表示就是arccos1/2

三維正單形是正四面體，它的二面角約是70.53°，用反三角函數表示就是arccos1/3

那麼作為四維正單形的正五胞體，它的二胞角用反三角函數表示就應該是arccos1/4，按按計算器就知道，arccos1/4≈75.52°

正五胞體五個點的其中一種表示形式，不過這個就座標來看，這個正五胞體的外接超球的半徑卻不是1——當然根據這個五個座標重新寫一個外接超球為1的十分容易。

點、線段、正三角形、正四面體、正五胞體……用這種方法一直類比下去，得到的所有東西集合在一起，就是正單形。

單形(Simplex)，英文又作Simplexes或Simplices，看上去是Simple和Complex的混合，字面意思大概是簡單的複雜(Simplicial Complex，*.*)，説白點就是複雜空間（高維空間）的簡單的東東——可以説，一個單形的確是該空間中構造最簡單的東西。

在一個n維空間中找到n+1個點，使這些點滿足每兩個點距離相等，那麼利用這些點就可以得到一個n維正單形(n-simplex)

通俗地説，正三角形就是二維正單形，正四面體就是三維正單形，正五胞體就是四維正單形。

需要説一下，這個“單形”可不是百度百科上的“晶體單形”，很多網站和網友（包括視頻“教你認識四維空間”）所説的單形指的是四維的單形——五胞體，這裏需要指正一下。單形應該是一個集合。

圖5是前二十維正單形的二維投影，可以説極其簡單，截圖摘自維基百科。

根據前四維單形（點、線段、正三角形、正四面體、正五胞體）的各維度的數據，可以推導到下表的這些數據。

從左到右依次是該單形的頂點數、稜數、（三角形）面數、（四面體）胞數、超胞（四維面）數、五維面數……

0-simplex：　1

1-simplex：　2　1

2-simplex：　3　3　 1

3-simplex：　4　6　 4　 1

4-simplex：　5 10　10　 5　 1

5-simplex：　6 15　20　15　 6　 1

6-simplex：　7 21　35　35 21　 7　 1

7-simplex：　8 28　56　70 56　28　 8　 1

8-simplex：　9 36　84 126 126　84　36　 9　1

9-simplex： 10 45 120 210 252 210 120　45 10　1

10-simplex：11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

似曾相識吧，這個數列就是楊輝三角，不過最左邊少了一行1（其實這樣“1”是存在的，屬於負一維產物）

正單形的座標很難算（詳細座標英文維基上有），不過如果把它放到高一維的話會簡單很多，

例如把一個正三角形放到三維，則它的三點座標可以是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)，

同樣地一個正四面體放到四維後四個頂點可以是(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)

如此類推。