正二十面體

正多面體各個面都是全等的正多邊形，並且各個多面角都是全等的多面角。其中面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體。

正二十面體(Regular icosahedron) 是由20個等邊三角形所組成的正多面體，共有12個頂點，30條稜，20個面。

1.正二十面體的外接球、內切球、內稜切球都存在，並且三球球心重合。

2.正二十面體的外心、內心、內稜心重合的點稱為該正二十面體的中心。

3.正二十面過任頂點和正多面體中心的直線必然經過正二十面體的另一頂點，並且這兩個頂點到正二十面體中心的距離都相等。

4.連線經過正二十面體的中心的兩點稱為相對頂點，連兩雙相對頂點的兩條稜稱為正二十面體的對稜，由對稜圍成的兩個面稱為正二十面體的對面。

5.正二十面體的對稜、對面都平行。 ^[1] 

（其中a為稜長）

內接正十二面體

在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就較高；而在三維空間中，這個規則卻不能推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。某些病毒，如皰疹病毒科，擁有正二十面體的衣殼。

正二十面體：20面\12頂點\30稜

若正二十面體的中心為(0,0,0)，外接球半徑為1，各頂點的座標為{(±m,0,±n), (0,±n,±m), (±n,±m,0)}，其中

。

體心到每個頂點的距離（外接球半徑）=

體心到每個面的中心的距離（內切球半徑）=

體心到每條稜的中點的距離（切稜球半徑）=