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正十二面體
鎖定
正十二面體性質
面的數目：12
邊的數目：30
頂點數目：20
二面角角度：
如果正十二面體稜長為a：
表面積：
邊的數目：30
頂點數目：20
二面角角度：
表面積：
體積：
外接球半徑：
內切球半徑：
中交球半徑：
- 我們亦可以將上述三式寫作：
外接球半徑：
內切球半徑：
中交球半徑：
（在這裏φ是黃金分割數，φ=
）
對偶多面體：正二十面體
正十二面體座標系
如果我們以正十二面體的形心為原點建立三維直角座標系，那麼其20個頂點可被描述為：
[2]
(0,±φ,±1/φ)
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2，是黃金分割數，也被寫作τ，約等於1.618。
該正十二面體稜長為/φ=√5–1。其內接球半徑正好為√3。
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2，是黃金分割數，也被寫作τ，約等於1.618。
該正十二面體稜長為/φ=√5–1。其內接球半徑正好為√3。
頂點座標：
| |
| 橙色的頂點位於(±1, ±1, ±1)，形成了其一個內接立方體(虛線所示)。 | |
| 綠色的頂點位於(0, ±φ, ±1/φ)，形成了y–z平面上的一個黃金矩形。 | |
| 藍色的頂點位於(±1/φ, 0, ±φ)，形成了x–z平面上的一個黃金矩形。 | |
| 粉色的頂點位於(±φ, ±1/φ, 0)，形成了x–y平面上的一個黃金矩形。 | |
| 相鄰頂點間的距離是2/φ，頂點到原點的距離是√3. φ= (1 + √5) / 2是黃金分割數。 | |
正十二面體幾何關聯
- 正十二面體是一個無窮家族——截頂偏方面體的第3個成員（截頂五偏方面體）。這類多面體可以被看作是將偏方面體在旋轉對稱軸上的兩個相對的頂點截去而成。
- 正十二面體的星形化體構成了4個星形正多面體中的3個。
- 我們可以在正十二面體的20個頂點中選取5組這樣的頂點，使任意兩個頂點的連線都是正十二面體正五邊形面的一條對角線，這樣能構成正十二面體的內接立方體，5個內接立方體一起構成了——複合多面體——五複合立方體；我們還可以進一步對內接立方體做交錯操作，得到正十二面體的內接正四面體，如果我們只在內接立方體中取一個正四面體，則5個正四面體構成了有手徵性的複合多面體——五複合四面體；如果取兩個，則10個正四面體構成了複合多面體——十複合四面體，這三個複合多面體都是正十二面體的小面化體。
- 正十二面體的完全對稱羣是正二十面體對稱羣Ih，考克斯特羣[5,3]，羣階120，還有一個抽象羣結構A5×Z2。
- 當正十二面體和正二十面體內接於同一球時，儘管正二十面體有更多的面，但正十二面體佔據球的體積（66.49%）要多於正二十面體佔據的球的體積（60.54%），這一點與二維不同。
- 稜長相同為1的正十二面體的體積（7.663...）是正二十面體體積（2.181...）的三倍半多。
正十二面體相關數學問題
- 哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關的問題：試求一條路徑，沿正十二面體的稜經過它所有的頂點。
正十二面體真實世界
- 因為一年有12個月，正十二面體正好用來製作月曆。
- Pariacoto virus的形狀結構是正十二面體。
- 五魔方（Megaminx）就是正十二面體製作出來的魔方。
化學：
