橫截面

考慮環面上由微分方程

（α 為實數）所確定的光滑流φ 取環面上一個橫截面

（如圖1），φ 的每條軌道都與 C 橫截相交，從 C 上出發的軌道正向、負向都要與 C 相交。

由 φ 誘導出 C 上第一返回映射

，由

給出（其中

是使

成立的最小的 t 值），f 是 C 上的微分同胚。一般地，流形 M 上 C^r 流 φ（對應的向量場為 X）的橫截面是一個餘維為 1 的閉子流形

，它滿足：

1、Σ 與 X 橫截相交；

2、從Σ 離開的φ 的每條軌道其未來與過去都與Σ 相交；

3、φ 的每條軌道都與Σ 相交。

設 C^r 流 φ 有橫截面 Σ ，如上可定義第一返回映射

，f 是 C^r 微分同胚，因而具有橫截面的 C^r 流在橫截面上誘導了一個 C^r 微分同胚。

但是，不是所有光滑流都有橫截面，一個明顯的必要條件是流不能有奇點。橫截面是由龐加萊 (Poincare,(J.-)H) 引進的。

通過橫截面可以建立光滑流與微分同胚生成離散動力系統之間的聯繫。 ^[1]