橢圓餘弦波

波浪傳入近海淺水區（0.05<d/L<0.1）後，海底邊界的摩阻力迅速增加，波高和波形將不斷變化，波面在波峯附近變得很陡，而兩個波峯之間卻相隔很長但又較為平坦的水面，兩波峯處的水質點運動特性與波陡 H/L 的關係減弱，而與相對波高 H/d 的關係增強，即 H/L 和 H/d 都成為決定波動性質的主要因素。在這種淺水情況下，即使取很高的階數，用Stokes波理論也不能達到所要求的精度。此時採用能反映決定波動性質的主要因素H/L 和 H/d 的橢圓餘弦波理論來描述波浪運動，可以取得較滿意的結果。

橢圓餘弦波（Cnoidal Wave）理論是最主要的淺水非線性波浪理論之一。該理論最早由科特韋格（Kortweg）和迪弗里斯（De Vries）於1895年提出，其後由很多學者（如庫萊根（Keulegan）-帕特森（Patterson）、凱勒（Keller）、威格爾（wiegel））進行了修正和改進，使之應用於工程實際。所謂橢圓餘弦波理論，是指水深較淺條件下的有限振幅、長週期波。它之所以被稱為橢圓餘弦波，是由於其波面高度是用Jacobian橢圓餘弦函數cn來表示的。 ^[2] 

可以利用Ursell數來判斷淺水。首先引入參數ε=d/L（水深與波長的比），ε越小説明水深越淺。另外由於非線性，還引入波高與波長的比值波陡δ=H/L作為運動非線性的標準。Ursell（1953）把兩個參數結合起來，引入Ursell判據，即

可以看出，U_r遠大於1時，δ大、ε小，即強非線性波與長波；當U_r=o(1)時，δ與ε相當，對於弱非線性和中等程度的波長，適合於stokes波浪理論；而當U_r遠小於1時，δ效、ε大，相當於水深與波長相比較、而振幅較小的波浪，即線性波理論適用的範圍。由此可見，U_r遠大於1就是淺水有限振幅波的判據。在此情況下，發展了一類稱之為橢圓餘弦波的淺水波浪理論。橢圓餘弦波包括了很大一類的有限振幅長波。理論適合的範圍是d/L<1/8，U_r>26（Laitone，1963）。 ^[2] 

以橢圓餘弦函數表示的有限深渠道中的非線性波。它是科爾泰沃赫-德弗裏（Korteweg-de Vries）方程的週期解。其波形為

式中 x 為水平方向的橫座標；cn（x/β）為橢圓餘弦函數；h₁和h₂為波峯和波谷的縱座標值；β為一參量。β的表達式為

式中 c 為波速；h為水深；g為重力加速度。波長λ的表達式為

式中F₁(k)為以k為模數的第一類完全橢圓積分。參量l與水深h之間還滿足下式

式中E₁(k)為以k為模數的第二類完全橢圓積分。橢圓餘弦波中有6個量h₁、h₂、l、k、λ和β，受式（2）、（4）、（5）、（6）4個方程約束。若給定波長λ和波峯的縱座標h₁，則其他各量即可求得，而波速c可從式（3）求得。當水深與波長之比在1/50至1/10範圍內，可用橢圓餘弦波來計算其對海洋結構物的載荷。 ^[3]