模糊關係

設X，Y是兩個非空集合，X×Y的一個子集R稱為x到Y的一個普通關係。

當(x，y)∈R時，稱X，Y有關係R；當(x，y)不屬於R時，稱(x，y)沒有關係R。

醫學上有表示人的體重和身高關係的公式： 體重(x公斤)=身高(y釐米)-100。按此公式可定義一個關係R={(x，y)|x∈X，y∈Y且x=y-100}是X×Y的一個子集。普通關係既然是普通集合，當然可以用特徵函數加以描述，按上述例子，若x∈X，y∈Y，(x，y)∈R，則有

，否則

。

普通關係只能描述二元素要麼有關，要麼無關係。二者必居其一．且僅其一。但客觀事物之間除了絕對的有關係或無關係之外，還可能存在着“有些關係” ， “關係密切“”等模糊概念， 上例中體重和身長的關係除了絕對發育正常(滿足公式)和不正常外，還可能有 發育得比較正常” 等。要表達這樣的關係就必須引入模糊關係。

給定論域U和V，直積U×V={(u,v)|u∈u，v∈V}的一個模糊子集R稱為U到V的模糊關係。

當然模糊關係R由其隸屬函數μR完全確定對任意(

，

)∈U×V，μR (

，

)表示(

，

)具有關係R的程度。

模糊關係R是X×Y中的模糊子集。若用μR(u，v)表示其隸屬函數，則μR(u，v)反映了u與v有關係R的程度。當U與V均為有限集合時，比如U={u1, u2, …, um}，V={ v1, v2, …, vn}，則UxV中的模糊關係R可用m×n階矩陣表示。

模糊矩陣（fuzzy matrix）用來表示模糊關係的矩陣，如果 集合X有m個元素，集合Y有n個元素，由集合X到集合Y中的模糊關係，可用矩陣表示。

設已知U到V的模糊關係R，U到W的模糊關係S，求解V到W的未知模糊關係X，使得滿足關係式R · X=S 。此式稱為“模糊關係方程”，而滿足模糊關係方程的模糊關係稱為“模糊關係方程的解”。

若X×X上的模糊關係垾滿足自反性與對稱性，則稱為X的一個模糊相似關係，又稱模糊相容關係。表示x與y對於模糊關係垾的相似程度。當X為有限集時,模糊相似關係可用一個主對角線元素為1的對稱模糊矩陣來表示。若X×X上的模糊關係滿足自反性、對稱性和傳遞性，則稱為X的一個模糊等價關係。模糊相似關係和模糊等價關係是模糊聚類分析和模糊綜合評判的基本數學工具。