模函數

在z平面中取單位圓|z|<1，在其周界上按反時針向依次任取三點A、B、C，並作一圓弧三角形ABC，其每邊均與|z|=1正交，構成一區域

（斜線區）。在w平面中實軸上取定三點α(=0)，β(=1)，γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理，存在一單葉解析函數w =φ(z)，把D0映到w 的上半平面，並使A，B，C分別映到α，β，у。根據對稱性原理，w=φ(z)可解析開拓到圓弧三角形Dó中，這裏Dó是

關於AB 弧的對稱反演區域（C點反演成圓周|z|=1上另一點C），而函數值則取在w 的下半平面，此下半平面與原上半平面沿線段αβ相粘連。

同理，w=φ(z)又可分別解析開拓到

的關於CA弧和BC弧的對稱圓弧三角形中，其函數值也在w 的下半平面中，它們分別與上半平面沿半直線 γα 和 βγ 相粘連。這樣，得到了|z|<1中的一圓弧六邊形區域，w=φ(z)在其中解析，取值於整個w平面中如上粘連的一個上半平面和三個下半平面。再以此六邊形的各邊進行反演，則w=φ(z)又可再次解析開拓到|z|<1中邊數更多的圓弧形區域中(仍在|z|<1內)，取值又回到w 的上半平面，並與上面已取得的下半平面分別沿αβ，βу，уα之一相粘連。如此無限繼續下去，則w=φ(z)就開拓成為整個|z|<1內的解析函數，其所取之值在w平面上形成一無限層的黎曼曲面。w=φ(z)稱為模函數。其反函數z=φ(w)是整個w平面除0，1，∞外的多值解析函數，或者可説成是上述黎曼曲面上的單值解析函數。 ^[1] 

模函數w=φ(z)單值解析於|z|<1內，顯然不取值0，1，

，且當z從單位圓內部以任意方式趨於其周界上一點時，不可能有確定的極限值，因此|z|=1是其自然邊界，即它不可能再向|z|=1之外進行解析開拓。

也可用一分式線性變換t=ω(z)，|z|<1,把z變到t平面的上半平面，使A,B,C 分別變成實軸的α，b以及

，而

變成區域

(圖2)，當

關於其一邊界圓弧作對稱反演時，相應地

也關於其相應邊作對稱反演。 ^[2] 

設t=ω(z)的反函數為z=λ(t)，則：

w=f(z)=f(λ(t))=φ(t)

就把t的上半平面映成w平面上述的黎曼曲面。φ(t)也稱為模函數，其性質本質上與ω(z)相類似。如果把構成模函數w=f(z)過程中所作的種種關於圓弧的反演變換記為

，

，…，則對於任何

，f(z)與f(

)互為共軛。因此，對任何兩個

，

，恆有f(z)=f(

)，即當z經過兩次這類反演後，其函數值f(z)不變。如果把偶數個這種反演及其逆作為元素，它們生成一變換羣G，則當z經G任一元變換後，函數值f(z)不變。稱G為模函數w=f(z)的不變羣，也稱f(z)為關於羣G 的自守函數(見橢圓函數)。 ^[3] 

在計算機中，去模函數又稱為同餘函數，mod(nExp1,nExp2)，即是兩個數值表達式作除法運算後的餘數。那麼：兩個同號整數求餘與你所知的兩個正數求餘完全一樣(即兩個負整數與兩個正整數的算法一樣)。 ^[4] 

兩個異號整數求餘

1.函數值符號規律(餘數的符號)

mod(負,正)=正

mod(正,負)=負

結論：兩個整數求餘時，其值的符號為除數的符號。

2.取值規律

先將兩個整數看作是正數，再作除法運算。

①能整除時，其值為0

②不能整除時，其值=除數×(整商+1)-被除數

例：mod(9,-8)=-7

即：9除以8的整數商為1，加1後為2；其與除數之積為16；再與被除數之差為7；取除數的符號。所以值為-7。

所以你的MOD(10,-3)是10除以3的整數商為3，加1後為4，其與除數之積為12；再與被除數之差為2；取除數的符號，所以為-2。

兩個小數求餘

取值為：被除數-(整商×除數)

例：mod(9,1.2)=0.6

即：9除1.2其整商為7；7與除數1.2之積為8.4；故結果為0.6。

例：mod(9,2.4)=1.8

即：9除2.4其整商為3；3與除數2.4這積為7.2；故結果為1.8。