標準單形

奇藝同調羣(singular homology group)是對任意拓撲空間都有定義的同調羣。對每個非負數q確定一個q維單純形

，稱為q維標準單形(standard simplex)，記作△q。

通常

取作歐幾里得空間

中單純形，其中𝑒₀歐幾里得空間

的原點，

是歐幾里得空間中第i個座標為1，其餘座標為0的點。

設X是一個拓撲空間，從q維標準單形

到X連續映射稱為X的q維奇異單形(singular simplex)。拓撲空間X的奇異鏈復形(singular chain complex)，記作(S(X),∂)定義如下：

①當q≥0時，(S(X,∂)的q維鏈羣S𝑞(X) 是由X的q維奇異單形生成的自由交換羣，即：S𝑞(X)中的元素是X的q維奇異單形的形式有限和；當q<0時，S𝑞(X)規定為平凡羣；

②(S(X),∂)的邊緣同態S𝑞(X)的任一個生成元（X的q維奇異單形）上的作用像

定義為

，其中

是標準單形△𝑞的頂點集

去掉第i個頂點得到的面，

是奇異單形作為映射在該面上的限制。若將

看作從q-1維標準單形到X的連續映射，它是σ與如下頂點對應關係給出的線性映射的複合：

（1）

；

（2）

。

拓撲空間丫奇異鏈復形(S(X,∂)的同調羣稱為拓撲空間X的奇異同調羣。

奇異問調羣對於任意拓撲空間有定義，因此，如果不作特別聲明，拓撲空間的同調羣通常指的就是奇異同調羣，同倫等價的拓撲空間有同構的奇界同調羣。 ^[1]