概率論基礎

《概率論基礎》是對本科階段所學概率論的嚴格化、抽象和延伸，幾個難點包括單調類定理、測度擴張定理、條件期望與正則條件概率，如何在學習中清楚地理解引入它們的背景和基本思想，便不難對全書的內容進行全盤把握了。 ^[2] 

第一章 集類與測度

1.1 集類與單調類定理

1.1.1 半集代數

1.1.2 集代數

1.1.3 代數

1.1.4 單調類定理

1.1.5 乘積空間與乘積代數

1.2 集函數與測度

1.2.1 集函數

1.2.2 測度空間

1.3 測度擴張定理及測度的完全化

1.3.1 半集代數上的測度擴張為最小集代數上的測度

1.3.2 半集代數、集代數上的測度擴張為最小代數

上的測度

1.3.3 測度的完全化

1.4 補充與習題

第二章 隨機變量與可測函數

2.1 可測函數

2.1.1 基本概念及性質

52.1.2 可測函數的構造

2.1.3 可測函數的運算

2.1.4 函數形式的單調類定理

2.2 分佈函數與分佈律

2.3 獨立隨機變量

2.4 可測函數序列的收斂

2.4.1 幾乎處處收斂

2.4.2 依測度收斂

2.4.3 依分佈律收斂

2.5 補充與習題

第三章 數學期望與積分

3.1 積分的定義和性質

3.1.1 積分的定義

3.1.2 積分的性質

3.2 收斂定理

53.3 數學期望

3.3.1 數字特徵

53.3.2 L-S積分表示

3.4 r次平均與Lr空間

3.4.1 幾個重要不等式

3.4.2 Lr空間

3.4.3 與各種收斂性之間的關係

3.5 可加集函數的分解

53.5.1 可加集函數的分解定理

3.5.2 不定積分與Lebesgue分解定理

3.5.3 分佈函數的分解定理

3.6 補充與習題

第四章 乘積測度空間

4.1 Fubini定理

4.2 無窮乘積概率空間

4.3 轉移測度與轉移概率

4.4 補充與習題

第五章 條件概率與條件期望

5.1 給定代數下的條件期望

55.2 給定函數下的條件期望

5.3 正則條件概率

5.3.1 正則條件概率的性質

5.3.2 條件分佈

5.3.3 存在性

5.4 Kolmogorov和諧定理

5.5 補充與習題

第六章 特徵函數與測度弱收斂

6.1 有限測度的特徵函數

6.1.1 定義與性質

6.1.2 逆轉公式與唯一性定理

6.2 測度的弱收斂

6.2.1 定義與等價定義

6.2.2 胎緊性與弱緊性

6.3 特徵函數與弱收斂

6.4 特徵函數與非負定性

6.5 補充與習題

第七章 概率距離

7.1 弱拓撲的度量化

7.2 全變差距離與Wasserstein耦合

7.3 Wasserstein距離

7.3.1 最優運輸與Wasserstein距離

7.3.2 最優耦合與對偶公式

57.3.3 空間

7.4 補充與習題

參考文獻

索引 ^[2]