概率公理

這個公理也可以反過來表述：“一次隨機抽樣中概率最高的事件是最容易出現（遇到）的事件”。

“一次隨機抽樣”是統計學中用的詞，它是讓你不帶主觀偏見地從眾多個對象中任意地取出一個（有的場合是把一批抽樣統一作為一次實驗）作為研究的樣品。這裏的抽樣是僅進行一次，也不允許第一次不滿意，再把另外的一次做樣品。

“最容易出現”這個詞含義簡單，它帶有“實踐”的品位。

“概率”這個詞含義抽象，帶有“理性”的品位。

概率公理概率公理（Probability Axioms），因其發明者為安德烈·柯爾莫果洛夫，也被人們熟知為柯爾莫果洛夫公理 。 某個事件E的概率P(E)是定義在“全體”(universe)或者所有可能基礎事件的樣本空間Omega時，概率P必須滿足以下柯爾莫果洛夫公理。 也可以説，概率可以被解釋為定義在樣本空間的子集的西格馬代數(<math>\sigma-Algebra)上的一個測度，那些子集為事件，使得所有集的測度為<math>1。 這個性質很重要，因為這提出了條件概率的自然概念。對於每一個非零概率A都可以在空間上定義另外一個概率： <math>P(B \vert A) = {P(B \cap A) \over P(A)} 這通常被讀作“給定A時B的概率”。如果給定A時B的條件概率與B的概率相同，則A與B被稱為是獨立的。 當樣本空間是有限或者可數無限時，概率函數也可以以基本事件\{e_1\}, \{e_2\}, ...定義它的值，這裏 \Omega = \{e_1, e_2, ...\}。

柯爾莫果洛夫公理 假設我們有一個基礎集\Omega，其子集\mathfrak{F}為西格馬代數，和一個給\mathfrak{F}的要素指定一個實數的函數P。\mathfrak{F}的要素是\Omega的子集，稱為“事件”。 第一公理 對於任意一個集合E\in \mathfrak{F}， 即對於任意的事件P(E)\in [0,1]。即，任一事件的概率都可以用0到1區間上的一個實數來表示。 第二公理 P(\Omega) = 1.\, 即，整體樣本集合中的某個基本事件發生的概率為1。更加明確地説，在樣本集合之外已經不存在基本事件了。 這在一些錯誤的概率計算中經常被小看；如果你不能準確地定義整個樣本集合，那麼任意子集的概率也不可能被定義。 第三公理 任意兩兩不相交事件E_1, E_2, ...的可數序列滿足P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum P(E_i)。 即, 不相交子集的並的事件集合的概率為那些子集的概率的和。這也被稱為是σ可加性。如果存在子集間的重疊，這一關係不成立。 如想通過代數了解柯爾莫果洛夫的方法, 請參照 隨機變量代數. [編輯]概率論引理 從柯爾莫果洛夫公理可以推導出另外一些對計算概率有用的法則。 P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).\, P(\Omega - E) = 1 - P(E).\, P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \vert A).\, 這一關係給出了貝葉斯定理。 以此可以得出A和B是獨立的當且僅當 P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\,