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極大距離可分碼
鎖定
極大距離可分碼(maximum distance separable code)亦稱MDS碼，指達到辛格爾頓界的碼。若M=qn+1-d，則稱q元(n，M，d)碼為極大距離可分碼，當n-d+1=2時，q元(n，q2，d)MDS碼的存在性等價於n-2個q階相互正交拉丁方的存在性，當C為[n，k，d]線性碼時，C為MDS碼的充分必要條件為d=n-k+1，MDS線性碼有許多有趣的性質，例如，MDS線性碼的對偶碼也是MDS碼，一個[n，k，d]線性碼是MDS碼的充分必要條件為生成矩陣中任意k列均線性無關，此外，若在射影幾何PG(k-1，q)中存在n個點的集合S使其中沒有k個點位於同一個超平面內，則存在一個[n，k，d]MDS碼
[1]
。
- 中文名
- 極大距離可分碼
- 外文名
- maximum distance separable code
- 所屬學科
- 數學（組合設計）
- 簡 稱
- MDS碼
- 簡 介
- 達到辛格爾頓界的碼
極大距離可分碼基本介紹
定理1辛格爾(Singleton)頓界 設
是一個參數為[n,k]的線性碼，則C的極小距離d≤n-k+1。
以上表明一個線性碼的極小距離不會“太大”，無論怎樣努力，都不能夠構造出一個參數為[n,k]的線性碼，使得它的極小距離大於n-k+1，由此可見，最好的期望就是構造使得極小距離等於n-k+1的線性碼，於是引出下面的定義
[2]
。
一個參數為[n,k]的線性碼C，若滿足dmin(C)=n-k+1，則稱該碼為極大距離可分碼，簡稱為MDS碼。
事實證明，MDS碼是存在的，下面廣義Reed-Solomon碼就是MDS碼。
極大距離可分碼相關介紹
定理2設
是一個參數為[n,k]的線性碼，令u∈C，WH(u)=m，C的校驗矩陣為H,則H中有m列存在一個線性相關關係。反之，對於H的m列中任何一個線性相關關係，都對應一個C中重量不大於m的碼字。
證明：因為u∈C，H是C的校驗矩陣，所以HuT=0，又WH(u)=m，去掉u的零分量，這正是H的m列的一個線性相關關係。因此，H中有m列存在一個線性相關關係。反之，如果H的m列有一個線性相關關係，則存在m個不全為零的係數，使得這m列的線性組合等於零，現在定義一個一維行向量u：與這m個列對應的分量就取對應的這m個係數，其餘分量取零。顯然，WH(u)≤m,HuT=0，所以，u是一個C中重量不大於m的碼字。
推論1設
是一個線性碼，C的校驗矩陣為H，則C的極小重量亦即極小距離為d當且僅當d=max{m|H的任意m-1列都線性無關}。
證明:由定理2可得。
定理1的證明：設參數為[n,k]的線性碼C的校驗矩陣為H,則H是一個秩為n-k的(n-k)×n矩陣，因此，H中的任意n-k+1列都線性相關。由定理2可知，
d≤n-k+1。
極大距離可分碼極大距離可分碼舉例
Reed-Solomon碼 一個Reed-Solomon碼(RS碼)是Fq上長為n=q-1的本原BCH碼，這種碼的生成元具有形式g(x)=
，其中α是Fq的一個本原元。
下述定理3的系理實際上就是説Reed-Solomon碼是極大距離可分碼。
定理3設計距離d的碼長q-1的q元Reed-Solomon碼的極小距離等於d.。
系理 設計距離d的碼長n=q-1的q元Reed-Solomon碼的碼長n，信息位的個數k和極小距離d三者之間適合關係式：
d=n-k+1.
定理4 (n，k)線性碼的極小距離d≤n-k+1。
