格拉曉夫數

格拉曉夫數（Gr）是流體動力學和熱傳遞中的無量綱數，其近似於作用在流體上的浮力與粘性力的比率。 在研究涉及自然對流的情況下經常出現，類似於雷諾數。 它被認為是以弗朗茨·格拉斯霍夫（Franz Grashof）命名的。 雖然這個術語組合已經被使用，但直到1921年，Franz Grashof去世後的28年，才被命名。 格拉曉夫數（又稱升浮力數或格拉霍夫準數）。 ^[1] 

其公式為：

其中是

體積變化係數，對於理想氣體即等於絕對温度的倒數，g是重力加速度，L是特徵尺度，Δt為温差，分母是運動黏度的平方。

推導格拉曉夫數的第一步是對體積展開係數進行如下操作： ^[2] 

應該注意的是，上述等式中的v表示特定的體積，與此推導的後續部分中的 v不同，後者將表示速度。 體積膨脹係數

的關於流體密度

的部分關係，給定恆壓，可以重寫為

其中，

是體積流體密度；

是邊界層密度。

，表示邊界層與散裝液體之間的温差。

從這裏可以找到格拉曉夫數的兩種不同的方式。 一個涉及能量方程，而另一個包含由於邊界層和體液之間的密度差而引起的浮力。

涉及能量方程的這個討論是關於旋轉對稱流動的。 該分析將考慮重力加速度對流動和熱傳遞的影響。 要遵循的數學方程既適用於旋轉對稱流動又適用於二維平面流動。

其中，

s是旋轉方向，即平行於表面的方向

u是切向速度，即平行於表面的速度

y是平面方向，即垂直於表面的方向

v是正常速度，即垂直於表面的速度

是半徑。

在該方程中，上標n是區分來自平面流的旋轉對稱流。 這個方程的以下特徵成立。

n = 1：旋轉對稱流

n = 0：平面，二維流

g是重力加速度

隨着物理流體性質的增加，該方程式擴展到以下內容：

從這裏我們可以通過將體積流體速度設置為0（u = 0）來進一步簡化動量方程。

該關係表明壓力梯度僅僅是體積流體密度和重力加速度的乘積。 下一步是將壓力梯度插入動量方程。

動量方程的進一步簡化來自於體積膨脹係數，密度關係

和運動粘度關係

，進入動量方程。

從這一點來找到格拉曉夫數，前面的方程必須是非維數的。 這意味着方程式中的每個變量都應該沒有維度，而應該是與幾何形狀和問題設置的比率特徵。 這是通過將每個變量除以相應的恆定量來完成的。 長度除以特徵長度

。 速度被適當的參考速度 V除以，考慮到雷諾數，給出

。 温度除以相應的温差(

)。 這些無量綱參數如下所示：

表示無量綱參數。 將這些無量綱方程與動量方程組合得出以下簡化方程：

其中，

是表面温度

是體積流體温度

是特徵長度

上述方程中括號中的無量綱參數稱為格拉曉夫數:

將導致格拉曉夫數的另一種形式的維度分析稱為白金漢姆定理。由於邊界層和體積流體中的密度差異，該方法考慮了每單位體積的浮力力

。 ^[3] 

通過整理該方程式得出：

參考白金漢姆定理，有9 - 5 = 4個無量綱的羣體。 選擇L，

，k，g和

作為參考變量。 因此，得到如下方程：

通過

和

，我們得到格拉曉夫數：

在強制對流中，雷諾數控制流體流動。但是，在自然對流中，格拉曉夫數是控制流體流動的無量綱參數。使用能量方程和浮力與尺寸分析相結合，提供了兩種不同的方法來推導格拉曉夫數。