根軌跡

當閉環系統沒有零點與極點相消時，閉環特徵方程式的根就是閉環傳遞函數的極點，我們常簡稱為閉環極點。因此，從已知的開環零、極點位置及某一變化的參數來求取閉環極點的分佈，實際上就是解決閉環特徵方程式的求根問題。當特徵方程的階數高於四階時，除了應用MATLAB軟件包，求根過程是比較複雜的。如果要研究系統參數變化對閉環特徵方程式根的影響，就需要進行大量的反覆計算，同時還不能直觀看出影響趨勢。因此對於高階系統的求根問題來説，解析法就顯得很不方便。

1948年，W.R.伊文思在“控制系統的圖解分析”一文中，提出了根軌跡法。當開環增益或其他參數改變時，其全部數值對應的閉環極點均可在根軌跡圖上簡便地確定。因為系統的穩定性由系統閉環極點唯一確定，而系統的穩態性能和動態性能又與閉環零、極點在s平面上的位置密切相關，所以根軌跡圖不僅可以直接給出閉環系統時間響應的全部信息，而且可以指明開環零、極點應該怎樣變化才能滿足給定的閉環系統的性能指標要求。除此而外，用根軌跡法求解高階代數方程的根，比用其他近似求根法簡便。 ^[1] 

1.如果根軌跡全部位於s平面左側，就表示無論增益怎麼改變，特徵根全部具有負實部，則系統就是穩定的。

2.如果根軌跡在虛軸上，表示臨界穩定，也就是不斷振盪。

3.如果根軌跡根軌跡全部都在s右半平面，則表示無論選擇什麼參數，系統都是不穩定的。

也就是説增益在一定範圍內變化時，系統可以保持穩定，但是當增益的變化超過這一閾值時，系統就會變得不穩定，而這一閾值就是出現在根軌跡與虛軸的交點上，在這一點系統臨界穩定。最終可由增益的取值範圍判斷系統的穩定性。

根軌跡的繪製具有以下繪製法則 ^[1]  ：

根軌跡的起點和終點。根軌跡起於開環極點（包括無限極點），終於開環零點（包括無限零點）。

根軌跡的分支數、對稱性和連續性。根軌跡的分支數與開環有限零點數m和有限極點數n中的大者相等，它們是連續的並且對稱於實軸。

根軌跡的漸近線。當開環有限極點數n大於有限零點數m時，有n-m條根軌跡分支沿着與實軸交角為

、交點為

的一組漸近線趨向無窮遠處，且有

，k=0,1,2,...,n-m-1和

根軌跡在實軸上的分佈。實軸上的某一區域，若其右邊開環實數零、極點個數之和為奇數，則該區域必是根軌跡。

根軌跡的分離點與分離角。兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點，分離點的座標d是下列方程的解：

式中，zj為各開環零點的數值；pi為各開環極點的數值；分離角為（2k+1）π/l

根軌跡的起始角與終止角。根軌跡離開開環複數極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角；根軌跡進入開環複數零點處的切線與正實軸的夾角，稱為終止角。這些角度都可以由特定關係式求出。

根軌跡與虛軸的交點。若根軌跡與虛軸相交，則交點上的

值和ω值可用勞斯判據確定，也可令閉環特徵方程中的s=jω，然後分別令其實部和虛部為零而求得。

根之和。