柏拉圖學派

柏拉圖主義的基本觀點是：數學的對象就是數、量、函數等數學概念，而數學概念作為抽象一般或“共相”是客觀存在着的。柏拉圖認為它們存在於一個特殊的理念世界裏，後世的柏拉圖主義者並不接受“理念論”，但也認為數學概念是一種特殊的獨立於現實世界之外的客觀存在，它們是不依賴於時間、空間和人的思維的永恆的存在。數學家得到新的概念不是創造，而是對這種客觀存在的描述；數學新成果不是發明，而是發現。與之相應的，柏拉圖主義認為數學理論的真理性就是客觀的由那種獨立於現實世界之外的存在決定的，而這種真理性是要靠“心智”經驗來理解，靠某種“數學直覺”來認識的，人們只有通過直覺才能達到獨立於現實世界之外的“數學世界”。

柏拉圖未曾寫下自己的形而上學，故其形而上學究竟如何，只能從對話捕捉蛛絲馬跡，或以亞里斯多德的陳述為根據，在很小程度上也藉助其他古代典籍。按照上述文獻，柏拉圖的理念論一般帶有濃厚的數學色彩，理念大體等同於數，或可用數加以説明。

柏拉圖學派重視數學的嚴謹性，在教學中，堅持準確地定義數學概念，強調清晰地闡述邏輯證明，系統地運用分析方法和推理方法，例如，推理中，假設已知所求未知數，再以這個假設為基礎，得出已知量和未知量應當存在的關係式的結論，歸根到底是化求未知量．柏拉圖學派把這種方法運用到作幾何圖形上．

柏拉圖學派，主張科學的任務是發現自然的結構，首次提出了應該把嚴格推理法則系統化，從而為數學走向新的階段起到前導作用．

在柏拉圖思想的影響下，學派中出現了一些對數學發展作出貢獻的數學家．例如，歐多克斯，曾是柏拉圖的學生，創造性地排除了畢達哥拉斯學派只能適用於可通約量的算術方法，用公理化方法來研究數學，歐幾里得《幾何原本》第五卷《比例論》的大部分內容是歐多克斯的工作成果．

柏拉圖的另一名學生是亞里士多德，被譽為形式邏輯的鼻祖，其思想影響西方數千年，他也非常重視數學的學習和研究，他所給出的點線面的定義，廣為傳播．他還應用演繹邏輯的方法對許多數學問題作出了證明．

斯珀西波斯凸出後期柏拉圖的數學傾向，甚至用數取代理念。他針對不同種類的實體提出不同原則

色諾克拉底認為理念與數相同，斷言理念屬於自然存在，併到柏拉圖那兒尋找根據。他第一個注意到柏拉圖主義長期爭論的問題∶《提麥奧斯篇》(Timaeus)的創世説究竟是歷史的記錄，還是純粹的解説?他主張後一種觀點，在古代曾紅極一時。

亞里斯多德不需要老師（柏拉圖）這種數學形而上學，他完全摒棄柏拉圖超驗的永恆理念學説。不過，亞里斯多德的體系仍保留一些柏拉圖主義∶他相信，事物的實在性取決於不變的形式或本質(儘管完全內在的)，只能為理性理解和規定；最高實在是非物質的永恆理智，固定不變，自滿自足，誘發宇宙有秩序地運動。天體的圓周運動反映出這種超驗的完滿性。人的最高理智也有類似情形。亞里斯多德的理智(nous)學説很容易讓人想起古代後期的柏拉圖主義。