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李亞普諾夫方程
鎖定
李亞普諾夫方程，或稱李亞普諾夫矩陣方程，是指對於沒有外部輸入的線性定常連續系統，用以構造李亞普諾夫函數的方程，或使系統原點平衡狀態漸進穩定的充分必要條件。其形式為見正文。
- 中文名
- 李亞普諾夫（矩陣）方程
- 外文名
- Lyapunov Matrix Equation
- 相關領域
- 控制理論、自動化
李亞普諾夫方程基本概念
李亞普諾夫方程李亞普諾夫穩定性
在1892年，俄國數學家李亞普諾夫（Lyapunov）提出將判定系統穩定性的問題歸納為兩種方法：李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法
，都對應存在另一實數
，使當
時，從任意初始狀態x0出發的解都滿足：
李亞普諾夫方程李亞普諾夫第二法
李亞普諾夫第一法又稱間接法，是利用系統狀態方程的解來判定穩定性，需要引入線性近似並求解方程。
李亞普諾夫方程就是從直接法中推導而來的一個線性定常系統穩定性判據方程。
李亞普諾夫方程李亞普諾夫方程
形式為，
李亞普諾夫方程判定和使用方法
李亞普諾夫方程穩定性判定
使用李亞普諾夫第二法的條件是構造李亞普諾夫函數V(x)，該函數是定義的一個正定標量函數，作為虛構的廣義能量函數。
對於一個給定系統，若能找到V(x)是正定的，而其一階導數是負定的，則這個系統是漸進穩定（漸進穩定是指在李亞普諾夫穩定的前提下，時間趨於無窮時，系統能夠達到穩定狀態）的。
對於線性定常系統，可以利用李第二法相關定理導出簡化判據，即李亞普諾夫方程判據。
李亞普諾夫方程構造函數
如果得到了李亞普諾夫方程，
則李亞普諾夫函數可以構造為：
也就可以通過李函數對系統的穩定性進行分析。
李亞普諾夫方程Matlab求解
在Matlab軟件中，使用X=lyap(A,C)可以求解滿足李雅普諾夫方程的對稱矩陣X；離散系統可用X=dlyap(A,C)求解對稱矩陣X。
