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有理係數多項式
鎖定
有理係數多項式是高等代數里面多項式因式分解討論的一個特例。我們知道,每個次數大於等於1的有理係數多項式都能惟一地分解成不可約的有理係數多項式的乘積。但是對於任意一個給定的多項式,要具體地作出它的分解式卻是一個很複雜的問題,即使要判別一個有理係數多項式是否可約也不是一個容易解決的問題。
- 中文名
- 有理係數多項式
- 外文名
- rational coefficient polynomial
- 學 科
- 數學
- 領域範圍
- 高等代數
- 屬 性
- 多項式因式分解
目錄
有理係數多項式定義1
設
選取恰當的整數
乘
,總可以使
是一整係數多項式。如果
的各項係數有公因子,就可以提出來,得到
例如
如果一個非零的整係數多項式
的係數
沒有異於
的公因子,也就是説,它們是互素的,它就稱為一個本原多項式。上面的分析表明,任何一個非零的有理係數多項式
都可以表示成一個有理數
與一個本原多項式
的乘積,即
有理係數多項式定理1(高斯(Guass)引理)
兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。
有理係數多項式定理2
如果一個非零的整係數多項式能夠分解成兩個次數較低的有理係數多項式的乘積,那麼它一定能分解成兩個次數較低的整係數多項式的乘積。
有理係數多項式推論1
設
是整係數多項式,且
是本原的。如果
,其中
是有理係數多項式,那麼
一定是整係數的。
這個推論提供了一個求整係數多項式的全部有理根的方法。
有理係數多項式定理3
設
有理係數多項式例1
求方程
這個方程的有理根只可能是
。用剩餘除法可以得出,除去1以外全不是它的根,因之這個方程的有理根只有
。
有理係數多項式例2
證明
如果
可約,那麼它至少有一個一次因子,也就是有一個有理根。但是
的有理根只可能是
。直接驗算可知
全不是根,因而
在有理數域上不可約。
有理係數多項式定理4(艾森斯坦判別法)
設
根據定理4,可知對於任意的
,多項式
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