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整係數多項式
鎖定
1.若f,g在此集合中,則f+g亦在此集合中; 2.若f在此集合中,而g為任一整係數多項式,則fg亦在此集合中;該理想集合符合希爾伯特定理。
[1]
- 中文名
- 整係數多項式
- 外文名
- polynomial with integer coefficients
- 所屬領域
- 數論
- 定 義
- 各項係數都是整數的多項式
整係數多項式定義
我們把形如
整係數多項式相關性質
整係數多項式定理1
(整係數多項式有理根的性質) 若既約分數
為整係數多項式
的根,則:
(1)
且
;
(2)
除以
所得的商的各項係數必為p的倍數。
證明:因為
為
的根。
所以,由因式定理,有
可知
為整數,但
,故
為整數,又
時,式①變為
整係數多項式推論1
最高次項係數為1的整係數多項式的有理根必為整數。
整係數多項式推論2
整係數多項式定理2
求整係數多項式
的有理根的主要依據,其方法是:首先按定理1的結論(1)或其他有關條件找出有理根的一切可能根
,然後採用綜合除法將
除以
,根據因式定理,當且僅當
整除
時,
為有理根,除的過程中,如發現商的係數非p的倍數,則根據定理1的結論(2),
非有理根,可不必再除下去。
例1設
,求證:
為無理數。
證明:
是整係數多項式
的一根,
整係數多項式定理3
設
為有理係數多項式,
與
有公共根a,則
。
定理3的意義是,若有理係數不可約多項式
有一根為另一有理係數多項式
的根,則
的全部根均為
的根。
整係數多項式推論3
如果有理係數多項式
有無理根
(
,
為無理數,
),則必有無理根
。