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整係數多項式

鎖定
整係數多項式是數論中研究的一類多項式,指係數都是整數的多項式。所有的整係數多項式對加、減、乘運算是自封閉的。如果一組整係數多項式適合以下條件時,就稱這組整係數多項式構成一個理想集合:
1.若f,g在此集合中,則f+g亦在此集合中; 2.若f在此集合中,而g為任一整係數多項式,則fg亦在此集合中;該理想集合符合希爾伯特定理 [1] 
中文名
整係數多項式
外文名
polynomial with integer coefficients
所屬領域
數論
定    義
各項係數都是整數的多項式

目錄

整係數多項式定義

我們把形如
的表達式叫做x的多項式,記為
,其中n是正整數,x是一個符號(或文字),
都是常數,叫做
係數
還叫做
常數項
叫做
一個項,k叫做這一項的次數。當
時,
叫做
叫做首項係數,n叫做
的次數,記為次
.如果
的係數全為零,則把
叫做零多項式,記為0。我們認為零多項式沒有次數,若
,則説
是零次多項式。
如果多項
的係數
都是整數,我們把
叫做整係數多項式,如果
的係數都是有理數,就把
叫做有理係數多項式。同樣地,可以定義實係數多項式復係數多項式 [2] 

整係數多項式相關性質

整係數多項式定理1

(整係數多項式有理根的性質) 若既約分數
為整係數多項式
的根,則:
(1)
(2)
除以
所得的商的各項係數必為p的倍數。
證明:因為
的根。
所以,由因式定理,有
其中
為有係數多項式。由此可得
可化為
由根的意義,有
可化為
故得
可知
為整數,但
,故
為整數,又
時,式①變為
由此得

整係數多項式推論1

最高次項係數為1的整係數多項式的有理根必為整數。

整係數多項式推論2

若既約分數
為整係數多項式
的根,則除以
所得的商為整係數多項式。

整係數多項式定理2

求整係數多項式
的有理根的主要依據,其方法是:首先按定理1的結論(1)或其他有關條件找出有理根的一切可能根
,然後採用綜合除法將
除以
,根據因式定理,當且僅當
整除
時,
為有理根,除的過程中,如發現商的係數非p的倍數,則根據定理1的結論(2),
非有理根,可不必再除下去。
例1
,求證:
為無理數。
證明:
是整係數多項式
的一根,
可能的有理根為±1,±2,但
所以
無有理數根。

整係數多項式定理3

為有理係數多項式,
有公共根a,則
定理3的意義是,若有理係數不可約多項式
有一根為另一有理係數多項式
的根,則
的全部根均為
的根。

整係數多項式推論3

如果有理係數多項式
有無理根
(
為無理數,
),則必有無理根

整係數多項式推論4

如果有理係數多項式
有無理根
(
無理數且非同類根式),則必有無理根
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會.數學辭海·第一卷:中國科學技術出版社,2002.8
  • 2.    喬鳳珠.代數方程與方程組:內蒙古人民出版社,1987.01