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有序域

有序域是具有全序關係，且序關係滿足一定規律的域。偏序集的概念(參看“偏序關係”)可以推廣到代數繫上討論，可以定義偏序羣及偏序環等概念。若是羣，且是偏序集，適合條件：若a≤b，且∀c∈G，ac≤bc，ca≤cb，則稱為偏序羣。例如，，都是偏序羣，且都是全序羣，即對給定關係≤，它們的任二元均可比較。但關係≤不能使成為偏序羣，雖然是羣(即非0實數乘羣)，因為只對c>0，a≤b時，才有ac≤bc成立。而不是對任意c成立。若是環，是偏序集，使得是偏序羣，且若a≤b，0稱為偏序環。例如，，，都是偏序環，且是全序環；特別，，還都是全序域。全序集亦稱有序集。全序羣、全序環、全序域亦相應地稱為有序羣、有序環、有序域^[1] 。

中文名: 有序域
外文名: ordered field

所屬學科: 數學
特點: 具全序關係且序關係滿足一定規律

有序域定義

定義1 如果對域K賦予了一個全序>，使當a>b時，對任何

有

；又當a>b且c>0時，有ac>bc，則稱K為有序域(ordered field)。滿足a>0的元素a稱為正元，滿足a<0的元素a稱為負元^[2] 。

定義2設R是環並且R的元數>1，如果存在集R的一個序關係<，並且滿足條件：

1)對任意a，b∈R，由a<b可推出對任意c∈R，有a+c<b+c，

2)對任意a，b∈R，由a<b可推出對任意c∈R，c>0有ac<bc，

那麼叫做R關於<是有序環，簡稱R是有序環。如果域F作為環來説是有序環，那麼叫做F是有序域。

定義中的兩個條件把序關係<分別同R的加法和乘法聯繫起來。

例1

關於數的小於關係是有序環，而

與

關於數的小子關係分別是有序域。

定義3 設R是環，R的元數>1，如果在R中能夠指定一個子集P具有以下性質：

1) 對任意a∈R以下三種情況

有而且只有一種成立。

2)對任意a，b∈P，有

那麼R叫做有序環(當R是域時叫做有序域)。

定義2和定義3是等價的。

有序域重要性質

有序環(特別是有序域)有以下基本而重要的性質。

1) 如果a<b，c>0，那麼ca<cb^[3] 。

證：由a<b及條件1)可知0<b-a，即b-a>0，由0<c及條件2)，有0(b-a)<c(b-a)，即0<cb-ca，再由條件1)可知ca<cb。

定義4設A是一個非空集，

是A的一個關係，如果

具有性質：

①三歧性對任意

，以下三種情況

有而且只有一種成立。

②傳遞性對任意

，由

可推出

，那麼

叫做A的一個序關係，A叫做關於

的一個有序集，或簡單地説A是有序集，並且可將

表示為<，

表示為a<b或b>a，空集也認為是有序集。

2) 如果a<b，c<d，那麼

。

證：由a<b及定義2的1)有a+c<b+d。同理，由c<d有b+c<b+d，再由定義4的2)可知a+c<b+d。

3)如果a>0，那麼--a<0，如果a<0，那麼-a>0，

如果a<b，c<0，那麼ac>bc，

如果0<a<b，0<c<d，那麼ac<bd，

如果a<b<0，c<d<0，那麼ac>bd。 “

證：只證第一個。因為a>0，所以a-a>-a，0>-a，即-a<0。

4)在有序環中，元素的平方和大於或等於零．而且只有當這些元素都是零時才等於零。

5)有序環沒有零因子。

證：設R是有序環，a，b∈R並且a≠0，b≠0。由定義4的1)有a>0或a<0，b>0或b<0.根據定義2的2)及上逑性質3)，當a>0，b<0時有ab<0；當a>0，b>0時有ab>0；當a<0，b>0時有ab<0；當a<0，b<0時有ab>0。由此可見無論哪種情況都有ab≠0，因而R沒有零因子。

6) 有序環如果有單位元1，那麼1>0。

證：因為環R的元數>1，可知1≠0，又因為1²=1，由上述性質4)可得1>0。

7) 有序環的特徵是零．

8) 在有序域中，

如果a>0，那麼