有序偶

在數學中，有序偶是兩個對象的蒐集，使得可以區分出其中一個是“第一個元素”而另一個是“第二個元素”（第一個元素和第二個元素也叫做左投影和右投影）。帶有第一個元素a和第二個元素b的有序偶通常寫為(a,b)。

符號(a,b)也表示在實數軸上的開區間；在有歧義的場合可使用符號

。

設(a₁,b₁)和(a₂,b₂)是兩個有序偶。則有序偶的特徵或定義性質為：

有序偶可以有其他有序對作為投影。所以有序偶使得能夠遞歸定義有序n-元組（n項的列表）。例如，有序三元組 (a,b,c)可以定義為(a, (b,c))，一個對嵌入了另一個對。這種方法也反映在計算機編程語言中，就是從嵌套的有序對構造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)變成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp編程語言使用這種列表作為基本數據結構。

有序偶的概念對於定義笛卡爾積和關係是至關重要的。

諾伯特·維納在1914年提議了有序偶的第一個集合論定義：

他注意到這個定義將允許《數學原理》中所有類型只透過集合便能表達。

在公理化集合論中，有序偶(a,b)通常定義為庫拉托夫斯基對：

陳述“x是有序對p的第一個元素”可以公式化為

而陳述“x是p的第二個元素”為

注意這個定義對於有序偶p= (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的；在這種情況下陳述(∀Y₁∈p, ∀Y₂∈p:Y₁≠Y₂→ (x∉Y₁∨x∉Y₂))顯然是真的，因為不會有Y₁≠Y₂的情況。

上述有序偶的定義是“充足”的，在它滿足有序偶必須有的特徵性質（也就是：如果(a,b)=(x,y)則a=x且b=y）的意義上，但也是任意性的，因為有很多其他定義也是不更加複雜並且也是充足的。例如下列可能的定義

“逆”（reverse）對基本不使用，因為它比通用的Kuratowski對沒有明顯的優點（或缺點）。“短”（short）對有一個缺點，它的特徵性質的證明會比Kuratowski對的證明更加複雜（要使用正規公理）；此外，因為在集合論中數2有時定義為集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，這將意味着2是對 (0,0)_short。

Kuratowski對： 證明：(a,b)_K= (c,d)_K當且僅當a=c且b=d。

如果a=b，則 (a,b)_K= {{a}, {a,a}} = { {a} }，且 (c,d)_K= {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d}，或c=d=a=b。

如果a≠b，則{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。

如果{c,d} = {a}，則c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但這樣{{a}, {a, b}}就會等於{{a}}，繼而b = a，跟先前的假設矛盾。

如果{c} = {a,b}，則a=b=c，這矛盾於a≠b。所以{c} = {a}，即c=a，且{c,d} = {a,b}。

並且如果d=a，則{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b。

所以同樣有a=c且b=d。

反過來，如果a=c並且b=d，則顯然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)_K= (c,d)_K。

逆對： (a,b)_reverse= {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)_K。

如果 (a,b)_reverse= (c,d)_reverse，則 (b,a)_K= (d,c)_K。所以b=d且a=c。

反過來，如果a=c和b=d，則顯然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)_reverse= (c,d)_reverse。

Rosser（1953年）擴展了蒯因的有序偶定義。Quine-Rosser的定義要求自然數的先決定義。設N是自然數的集合，

是N在x內的相對差集，並定義： ^[1] 

φ(x)包含在x中所有自然數的後繼，和x中的所有非數成員。特別是，φ(x)不包含數0，所以對於任何集合A和B，

。

以下是有序對 (A,B)的定義：

提取這個對中那些不包含0的所有元素，然後再還原

的作用，就得出了A。類似的，B可以通過提取這個對的包含0的所有元素來複原。

有序偶的這個定義有個顯著的優點。在類型論和從類型論派生出的集合論如新基礎中，這個對與它的投影有相同的類型（所以術語叫做“類型齊平”有序對）。因此一個函數（定義為有序偶的集合），有隻比序對的投影的類型高1的類型。

Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合論可以自由的使用真類。Morse定義有序對的方法，使得它的投影可以是真類或者集合。（Kuratowski定義不允許這樣）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定義投影為集合的有序偶。接着，他重定義對 (x,y)為 ^[2] 

這裏的笛卡爾積是指由Kuratowski對組成的集合並且

這便允許了定義以真類為投影的有序偶。