最或然值

最小二乘法是求解被測量的最或然值的基本方法。按照最或然值的定義，它是最接近於真值的值。設一組觀測值為x₁、x₂、……、x_n，待求的最或然值為X，則它們的殘差為

（

），最小二乘準則就是選擇X，使得殘差平方和為最小，即X必須滿足： ^[1] 

等精度觀測值的最或然值就是算術平均值。

在測量工作中，除了要對觀測值評定精度外，還要確定觀測量的最可靠值。由於任何觀測量的真值是難以求得的，因此觀測量的最可靠值只能是最接近真值的值，稱為最或然值，亦稱最或是值。在只有一個獨立觀測量時，我們可以用多次觀測的方法，取同精度觀測值的算術平均值作為觀測量的最或然值。

設對某量進行了n次同精度觀測，得觀測值L₁、L₂、L₃、L_n…，該觀測量的真值為X，則各觀測值產生的真誤差Δ為：

…………

取和有：

故：

設x為觀測值的算術平均數，則：

設：

於是，X可表達為：

δx也就是算術平均值x的真誤差。由偶然誤差的第四個特性知：

於是：

即當觀測次數無限多時，算術平均值就是觀測值的真值。但實際工作中，觀測次數不可能有無限多個，那麼在有限的觀測次數時，觀測值的算術平均值是所能求得的最接近真值的值，即觀測量的最或然值。 ^[2] 

算術平均值－最或然值的中誤差M為：

m為獨立觀測值的中誤差。 ^[3] 

算術平均值的中誤差是觀測值中誤差的

倍。這説明算術平均值的精度比觀測值的精度要高，觀測的次數愈多，精度愈高。所以用多次觀測取其平均值，是減小偶然誤差影響、提高精度的有效方法。

在觀測值的中誤差m不變時，算術平均值的中誤差M與觀測次數的平方根成反比，當n愈大，精度的提高就愈慢。過多地增加觀測次數來提高精度是不經濟的，而應該設法來提高單次觀測的精度，例如提高儀器的質量和改進觀測方法。

根據公式計算中誤差時，首先要已知觀測值的真誤差。但實際工作中未知量的真值除少數例子外一般是不易求得的，所以真誤差Δ一般也無法求得。因此在多數情況下我們只能按觀測值的最或然誤差來計算觀測值的中誤差。下式就是用最或然值中誤差求觀測值中誤差的公式：

或

其中，v為最或然誤差。

如果測量是在不同的觀測條件進行的，則各觀測值的質量也就不同，因而它們的可靠性也不相同。若用簡單的算術平均值求最或然值顯然是不合理的。只有顧及到各觀測值的可靠性來求最或然值才能認為是滿意的。在測量中常用一個數字來表示各觀測值的相對可靠程度，叫做“權”（weight），以p表示。一個觀測值的權愈大，表示它的觀測質量愈高，可靠程度愈大，因而該觀測值對求最或然值應該給予較大的影響，也可以説，權就是每個觀測值在求最或然值中所應占據的比重。

觀測條件的好壞，影響觀測質量的高低；觀測條件愈好，觀測值的中誤差愈小，觀測結果愈可靠，權也應當大，因而根據觀測值的中誤差來確定觀測值的權是很自然的。在測量中，定義權與觀測值中誤差的平方成反比，即：

若是非等精度觀測時，最或然值等於加權平均值（或稱廣義算術平均值），即等於每個觀測值與其對應的權的乘積之和除以權之和。

式中μ是任意常數， 也可説是各觀測值相互比較的共同標準。在一組觀測值中，μ是一個定常數。

P值是可以任意確定的，但為了計算上的方便和實際應用，我們給P一個確定的含義。即給定某一觀測結果的權為1（單位）。權為1叫做單位權（unit weight）。對應於權為1的觀測值為單位權觀測值。

設最或然值設某量的非等精度觀測結果為l₁、l₂、……、l_n。其權分別為p₁、p₂、……、pn。則觀測值的權平均值L為：

或

L₀是近似值，

,

L是非等精度觀測列觀測值的最或然值。非等精度權平均值的檢核公式是：

。

最或然值中誤差公式為：

單位權中誤差μ在非等精度觀測列中是計算各觀測值的權及中誤差的共同標準。單位權中誤差公式的證明較繁，從實用角度出發，僅給出計算公式。

如已知觀測值l₁、l₂、……、l_n的權為p₁、p₂、……、p_n和相對應的真誤差為Δ₁、Δ₂、……、Δ_n，則：

式中n為參與權平均值計算的觀測值的個數。

如觀測值的真誤差為未知數，則先由最或然值求出最或然誤差，再按公式計算。

單位權中誤差μ求出後。相應觀測值的中誤差m_i可求出。依權的定義有： ^[3]