最小方差

方差（variance)是在概率論和統計方差衡量隨機變量或一組數據時離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。統計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數之差的平方值的平均數。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有着重要意義。

當數據分佈比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分佈比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。 ^[1] 

樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差。樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。

方差和標準差是測算離散趨勢最重要、最常用的指標。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標準差為方差的算術平方根，用S表示。

方差反映了樣本數據圍繞樣本平均值變化的情況，方差值越小，表明數據越靠近平均值，離散程度越小。相反，方差值越大，數據離平均值越遠，離散程度越大。在方差中最小的那個數，稱為最小方差。

合理優化各部分取值，即可使整個系統方差最小。由於最小方差是實際分佈與理論分佈之間偏差最小的數，它可以直觀地判定樣本的類別歸屬，且計算簡單、意義明確。

以最小方差法能反映一個地區類型分佈的實際情況。在實際應用過程中，也可利用平方和公式，計算各個類型組合結構假設百分比分佈和實際百分比分佈之差的平方和，具體公式為：

其中，N為平方和，

為各個類型組合結構假設百分比分佈，

為實際百分比分佈。

主要計算流程作如下表述。步驟1，提取樣本數據；步驟2，對樣本進行數據類型劃分，並在各類型中，按數據值大小順序排列；步驟3，按數據類型，列出假設理論矩陣；步驟4，利用最小方差公式，分別計算出各個類型的實際百分比分佈和理論假設百分比分佈之差的平方和，所得平方和愈趨近於0，説明實際分佈最接近這種理論分佈；步驟5，將公式中所求出的平方和與假設組合結構分類標準逐一比較找出其最小N值，確定所屬的組合類型。 ^[2] 

以最小方差為基準的性能評價技術已經從單變量系統擴展到了多變量系統，且研究成果卓著。

控制系統性能評價技術的創始人Astrom，在1970年將與Box和Jenkins共同創立並將最小方差控制理論應用到控制系統的性能評估上，它的實質是將理想最小方差控制器作用下的系統輸出方差作為評估當前控制迴路性能的基準。Astrom提出：“當系統處於最小方差控制器作用下，則整個輸出序列中滯後時間大於延遲時間的輸出序列部分的方差將為零”。

在1992、1993年，Harris和Desbotough又對這一理論做了更深入的研究：（1）將最小方差理論應用於前饋-反饋控制系統的性能評價中，並提出了一種實時性更高在線計算系統輸出的最小方差的方法；（2）採用基於方差分析的方法來判斷造成控制系統性能下降的原因。

在1993年，Stanfelj等將最小方差性能評價指標應用在單輸入單輸出SISO控制迴路，以評價其性能優劣，並採用相關分析方法來診斷控制迴路性能下降的主要原因所在。如：（1）反饋或前饋環節；（2）對象——過程模型不吻合；（3）控制器參數調整時出現的偏差。此外，還有很多研究機構和人員也為控制器性能評價理論的發展作出了傑出的貢獻。Kozub和Garcia在Harris的基礎上定義了一種新的評價指標——閉環潛力性能指標（closed-loop potential，CLP），並用於控制迴路的性能評價；Tyler和Morari利用似然假設檢驗法來評價閉環控制器的性能，同時將它與以最小方差為基準的性能評價方法進行比較；Lynch和Dumont分別用三種不同的方法來計算實際系統輸出可能達到的最小方差，並討論了過程靜態輸入輸出之間的關係等。 ^[3]