最概然分佈

系統中微觀粒子一般具有一系列離散的能量，記這些能量為ε1，ε2，……，εn，……，相應能量的粒子數目記為a1，a2，……，an，……={an}。數列{an}即為一個分佈。不同時刻，分佈是變化的。

這些處於相同能量的粒子還可能具有不同的其他微觀物理量，比如同具有動能ε的一維自由粒子動量具有兩個相反的方向。這時，能量是簡併的，而動量是非簡併的。記每個能量下細化到非簡併時的狀態數目分別為k1，k2，……，kn，……={kn} ，稱每一個k是該能量的簡併度。上述例子相應的能量簡併度為2。

某一個分佈下的微觀狀態數，即該分佈下系統所有可能出現的微觀狀態的總數（微觀狀態概念參見等概率原理或被詞條附圖），用符號Ω標記。對於每一個分佈（見上文），它只規定了每種能量下的粒子數，而許多微觀狀態都滿足這種分佈。這些微觀狀態也是隨時間不停發生變化。一種分佈下的全部可能的微觀狀態數目是可以被計算出來的。這種一對多的關係來源於能量的簡併（見上文），可分辨和不可分辨全同粒子的特性和泡利不相容原理等等。

根據等概率原理，各個分佈下的所有的微觀狀態出現的概率都一樣，因此，分佈包含的可能微觀狀態數目Ω越多時，該分佈出現的概率就越大。最大的Ω對應概率最大的分佈，該分佈稱為最概然分佈

對於一個系統，微觀粒子每時每刻都在變化，各種分佈都會出現，但它們出現的概率不同（如上文所述，原因被抽象為該分佈下微觀狀態數不同），物理學用出現概率最大的一個分佈（最概然分佈）來代替當前系統微觀粒子的分佈，而忽略其他分佈出現的可能。這種處理是合理的，因為計算表明，當粒子數足夠大時，最概然分佈出現的概率遠遠高於其他分佈出現的概率。

分佈與微觀狀態數Ω有關，而Ω又與{an}和{kn}有關 ^[1]  。而最概然{an}又和系統總能量，系統粒子總數，{kn}和{εn}有關，所以宏觀和微觀在數學上就被聯繫起來，進而可以討論它們在物理上的聯繫。

著名的麥柯斯韋-波爾茲曼分佈，是在最概然分佈的物理意義下產生的，它只是眾多分佈中的一個極大值。這之後出現的費米-狄拉克分佈和玻色-愛因斯坦分佈也是一個最概然分佈，無論是用經典方法還是系綜理論，都離不開最後這步處理。這三個分佈的區別在於各自的微觀狀態數的表達式不同，因為描述這三種分佈下粒子的限定條件不同。 ^[1] 

不同的M 值代表了不同的分佈,因此,M 是一個指明系統分佈的特徵參數。又因A 和B 是同一能

級的兩個簡併量子態,因此,所有微觀狀態有相同的能量,他們都服從等概率原理。

在這個平衡系統中,最概然分佈出現的概率與子數N 的平方根成反比。這就是説,隨着N 增大,最概然分佈出現的概率反而減小。當N抑1024 時,Pmax 抑10-12,這是一個很小的概率。那麼,為什麼還説最概然分佈可以代表熱力學系統的平衡分佈呢? 圖2 是不同N 時的平衡分佈及最概然分佈圖[2] 。為清楚地顯示大數,圖2 中的縱座標和橫座標都用相對值表示,前者為棕(M) / 棕max ,後者為M / N,其中M / N = 0. 5 的虛線所示即為最概然分佈 ^[2]  。

由圖2 可見,隨着N 增大,分佈曲線變得越來越窄,換句話説,平衡分佈越來越接近最概然分佈。