曲線擬合法

方程

在笛卡爾平面上是一條直線，而這條直線的斜率是a。因為任何兩點可以決定一條直線，因此總能找到次數不多於1的多項式來串起任何兩個x值相異的點。 ^[1] 

如果把多次式的次數增加到2

那麼只要給定x值各異的3點，總會有次數不多於2的多項式可以把它們串起。

如果把多次式的次數再增加到3

那麼只要給定x值各異的4點，總會有次數不多於3的多項式可以把它們串起。

對於這條多項式，更正確的描述是這條多項式附合任何4個限制。限制可以是一點（x,y）、角度或曲率（即半徑的倒數 1/R）。角度和曲率的限制通常在曲線的終端，因此稱為終端條件。為了樣條(spline) 的交接平滑，通常會用到全等的終端條件。 也可以增加如曲率變化等高階約束。例如，在高速公路立體交叉點苜蓿葉型的設計中，可以用來理解當汽車繞着交叉點運動時作用在汽車上的力，並依此設定合理的限定時速。

一次多項式也可以擬合一個單點和一個角度，三次多項式則可以擬合兩點，一個角度約束以及一個曲率約束。許多其它類型的約束組合也同樣可以用低階或者高階多項式來擬合。

如果有超過n+1個約束（n是多項式的階次），仍然可以使用多項式擬合。通常一個滿足所有約束的精確擬合不一定能夠得到（但是有可能得到，例如，用一次多項式擬合共線的三點三點共線）。通常，我們需要使用一些方法來評價擬合的好壞。最小平方法就是用來評價差別的一種常用的方法。

不通過提高多項式的次數來更好的擬合曲線的原因有下：

1）即使存在精確的擬合，也不意味着必須得到這樣的擬合。根據使用的算法不同，我們可能遇到分歧，要麼精確的擬合無法得到，要麼需要太多的計算機時去得到精確的擬合。不管哪種情況，最終都會以得到近似擬合而結束。

2）通常人們會希望得到一個近似的擬合，而不願為了精確擬合數據而使擬合的曲線產生扭曲。

3）高次多項式往往有高度波動的特性。如果我們通過兩點“A”和“B”作一條曲線，我們希望這條曲線也能通過“A”和“B”的中點。但是對於高次多項式，情況就不是這樣了，高次多項式曲線往往可能有很大或者很小的幅值。對於低次多項式，曲線將沒有很大波動，而能通過中點（對於一次多項式，甚至能保證肯定通過中點）。