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Prim
鎖定
- 中文名
- 普里姆算法
- 外文名
- Prim Algorithm
- 別 名
- 最小生成樹算法
- 提出者
- 沃伊捷赫·亞爾尼克（Vojtěch Jarník）
- 提出時間
- 1930年
- 適用領域
- 應用圖論知識的實際問題
- 應用學科
- 計算機，數據結構，數學（圖論）
- 算 法
- 貪心
Prim算法描述
1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},為空；
3).重複下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
b.將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；
4).輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
Prim時間複雜度
最小邊、權的數據結構 | 時間複雜度（總計） |
|---|---|
鄰接矩陣、搜索 | O(V^2) |
O((V + E) log(V)) = O(E log(V)) | |
O(E + V log(V)) |
通過鄰接矩陣圖表示的簡易實現中，找到所有最小權邊共需O（V）的運行時間。使用簡單的二叉堆與鄰接表來表示的話，普里姆算法的運行時間則可縮減為O(ElogV)，其中E為連通圖的邊數，V為頂點數。如果使用較為複雜的斐波那契堆，則可將運行時間進一步縮短為O(E+VlogV)，這在連通圖足夠密集時（當E滿足Ω（VlogV）條件時），可較顯著地提高運行速度。
Prim圖例描述
圖例 | 説明 | 不可選 | 可選 | 已選（Vnew） |
| 此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。 | - | - | - |
| 頂點D被任意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
| 下一個頂點為距離D或A最近的頂點。B距D為9，距A為7，E為15，F為6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
| 算法繼續重複上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
| 在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。點E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。 | 無 | C, E, G | A, D, F, B |
| 這裏，可供選擇的頂點只有C和G。C距E為5，G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。 | 無 | C, G | A, D, F, B, E |
| 頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。 | 無 | G | A, D, F, B, E, C |
| 所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。 | 無 | 無 | A, D, F, B, E, C, G |
Prim代碼
PrimPASCAL代碼
programprim; const map:array[1..6,1..6]ofinteger=((0,6,1,5,0,0), (6,0,5,0,3,0), (1,5,0,5,6,4), (5,0,5,0,0,2), (0,3,6,0,0,6), (0,0,4,2,6,0));//樣例輸入 var i,j,l:integer; min,minn:longint; f,d:array[1..6]ofinteger; s:array[1..6,1..3]ofinteger; v,p:setof1..6; begin l:=1; p:=[]; v:=[]; fori:=2to6do v:=v+[i]; p:=p+[1]; fori:=1to6do f[i]:=1000;//還可以寫成filldword(f,sizeof(f)div2,1000) f[1]:=0; fori:=1to6dod[i]:=0;//還可以寫成fillchar(d,sizeof(d),0); s[1,3]:=0; fori:=1to5do begin min:=1000; forj:=1to6do begin if(f[j]>map[l,j])and(jinv)and(map[l,j]<>0)then begin f[j]:=map[l,j]; d[j]:=l; end; if(f[j]<min)and(f[j]>0)then begin min:=f[j]; minn:=j; end; writeln(d[j]); end; f[minn]:=0; v:=v-[minn]; p:=p+[minn]; s[i,1]:=d[minn]; l:=minn; s[i,2]:=minn; s[i,3]:=min; end; fori:=1to5dowrite(s[i,1],'to',s[i,2],'=',s[i,3],'-->'); readln; end.
Primc代碼
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define max 1000000000
int a[1001][1001], d[1001], p[1001];
int main() {
int i, j, k, m, n, min, ans, t;
int x, y, z;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
a[x][y] = z;
a[y][x] = z;
}
for (i = 1; i <= n; i++)
d[i] = 1000000000;
d[1] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++) {
min = max;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (!p[j] && min > d[j])
min = d[j], t = j;
}
p[t] = 1;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (a[t][j] != 0 && d[j] > a[t][j] + d[t]) {
d[j] = a[t][j] + d[t];
ans += min;
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
PrimC++代碼
#define MAXN 1000
#define INF 1<<30
int closest[MAXN],lowcost[MAXN],m;//m為節點的個數
int G[MAXN][MAXN];//鄰接矩陣
int prim()
{
for(int i=0;i<m;i++)
{
lowcost[i] = INF;
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
closest[i] = 0;
}
closest[0] = -1;//加入第一個點，-1表示該點在集合U中，否則在集合V中
int num = 0,ans = 0,e = 0;//e為最新加入集合的點
while (num < m-1)//加入m-1條邊
{
int micost = INF,miedge = -1;
for(int i=0;i<m;i++)
if(closest[i] != -1)
{
int temp = G[e][i];
if(temp < lowcost[i])
{
lowcost[i] = temp;
closest[i] = e;
}
if(lowcost[i] < micost)
micost = lowcost[miedge=i];
}
ans += micost;
closest[e = miedge] = -1;
num++;
}
return ans;
}
Prim時間複雜度
這裏記頂點數v，邊數e
- 參考資料
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- 1. 最小生成樹-Prim算法和Kruskal算法 ．最小生成樹-Prim算法和Kruskal算法 [引用日期2014-12-30]
