時鐘問題

時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追及或相遇問題，不過這裏的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針。

時鐘問題有別於其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規的米每秒或者千米每小時，而是2個指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。對於正常的時鐘，

具體為：整個鐘面為360度，上面有12個大格，每個大格為30度；60個小格，每個小格為6度。

分針速度：每分鐘走1小格，每分鐘走6度

時針速度：每分鐘走十二分之一小格，每分鐘走0.5度

注意：但是在許多時鐘問題中，往往我們會遇到各種“怪鍾”，或者是“壞了的鐘”，它們的時針和分針每分鐘走的度數會與常規的時鐘不同，需學會對不同的問題進行獨立的分析。

要把時鐘問題當做行程問題來看，分針快，時針慢，所以分針與時針的問題，就是他們之間的追及問題。另外，在解時鐘的快慢問題中，要學會十字交叉法。

例如：時鐘問題需要記住標準的鐘，時針與分針從一次重合到下一次重合，所需時間為65又11分之5 分。

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一週為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時間；

合理利用行程問題中的比例關係；

數量關係技巧包含了數學運算技巧和數字推理技巧兩大部分，公務員考試數學運算是最為考生所頭疼，其所佔分值高並且難度也高。

時鐘問題常見的考查形式是鐘面追及。鐘面追及問題通常是研究時針、分針之間的位置的問題，如“分針和時針的重合、垂直、成一直線、成多少度角”等。時針、分針朝同一方向運動，但速度不同，類似於行程問題中的追及問題。解決此類問題的關鍵在於確定時針、分針的速度或速度差。

具體的解題過程中可以用分格法，即時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走一圈，即60分格，而時針每小時只走5分格，因此分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。速度差為11/12分格。也可以用度數法，即從角度觀點看，鐘面圓周一週是360°，分針每分鐘轉360/60度，即分針速度為6°/min，時針每小時轉360/12=30度，所以每分鐘的速度為30°/60，即0.5°/min。分針與時針的速度差為5.5°/min。

【例 1】 王叔叔有一隻手錶，他發現手錶比家裏的鬧鐘每小時快 30 秒.而鬧鐘卻比標準時間每小時慢 30 秒，那麼王叔叔的手錶一晝夜比標準時間差多少秒？

【解析】 鬧鐘比標準的慢 那麼它一小時只走（3600-30）÷3600個小時，手錶又比鬧鐘快 那麼它一小時走（3600+30）/3600個小時，則標準時間走1小時 手錶則走（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600個小時，則手錶每小時比標準時間慢1—【（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600】=1—14399÷14400=1÷14400個小時，也就是1÷14400X3600=四分之一秒，所以一晝夜24小時比標準時間慢四分之一乘以24等於6秒

【解析2】由題幹可得手錶：鬧鐘=（3600+30）：3600，鬧鐘：標準=（3600-30）：3600，可以得到手錶：標準=（3600+30）*（3600-30）：3600*3600，則標準時間走1小時（3600秒），手錶走（3600+30）*（3600-30）/3600/3600*3600秒，那麼1晝夜24小時手錶共走了（3600+30）*（3600-30）/3600/3600*24*3600=86394秒，而一晝夜共有24*3600=86400秒，故相差86400-86394=6秒

【鞏固】 小強家有一個鬧鐘，每時比標準時間快3分。有一天晚上10點整，小強對準了鬧鐘，他想第二天早晨6∶00起牀，他應該將鬧鐘的鈴定在幾點幾分？

【解析】 6：24

【鞏固】 小翔家有一個鬧鐘，每時比標準時間慢3分。有一天晚上8:30，小翔對準了鬧鐘，他想第二天早晨6∶30起牀，於是他就將鬧鐘的鈴定在了6∶30。這個鬧鐘響鈴的時間是標準時間的幾點幾分？

【解析】 7點

【鞏固】 當時鐘錶示1點45分時，時針和分針所成的鈍角是多少度？

【解析】 142.5度

【例 2】 有一座時鐘現在顯示10時整．那麼，經過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經過多少分鐘，分針與時針第二次重合?

【解析】分針每小時走一圈12格，時針走1格，分針每小時比時針多走12－1=11格，每分鐘多走11/60格。10時整的時候，時針與分針相距10格，第一次重合，分針要在相同的時間裏比時針多走10格，所用時間是：10÷11/60=54又6/11（分鐘）第二次重合，分針要比時針多走12格，所用時間是：12÷11/60=65又5/11（分鐘）

【鞏固】 鐘錶的時針與分針在4點多少分第一次重合？

【解析】 此題屬於追及問題，追及路程是20格，速度差是60/60-5/60（格/分） ，所以追及時間是：20/（1-1/12 ）=240/11 （分）。

也可以用度數算：4*30/（6-0.5）=240/11分鐘

【鞏固】 現在是3點，什麼時候時針與分針第一次重合？

【解析】 根據題意可知，3點時，時針與分針成90度，第一次重合需要分針追90度， （分）

【例 3】 鐘錶的時針與分針在8點多少分第一次垂直？

【解析】 此題屬於追及問題，但是追及路程是4 格（由原來的40格變為15格），速度差是 ，所以追及時間是： （分）。

【例 4】 2點鐘以後，什麼時刻分針與時針第一次成直角？

【解析】 根據題意可知，2點時，時針與分針成60度，第一次垂直需要90度，即分針追了90+60=150（度）， （分）

【例 5】 8時到9時之間時針和分針在“8”的兩邊，並且兩針所形成的射線到“8”的距離相等．問這時是8時多少分?

【解析】 8點整的時候，時針較分針順時針方向多40格，設在滿足題意時，時針走過x格，那麼分針走過40-x格，所以時針、分針共走過x+(40-x)=40格．於是，所需時間為 分鐘，即在8點 分鐘為題中所求時刻．

【例 6】 現在是10點，再過多長時間，時針與分針將第一次在一條直線上？

【解析】 時針的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分針的速度是 360÷60=6(度/分),即 分針與時針的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10點時，分針與時針的夾角是60度， ,第一次在一條直線時，分針與時針的夾角是180度，,即 分針與時針從60度到180度經過的時間為所求。,所以 答案為 (分)

【鞏固】 在9點與10點之間的什麼時刻，分針與時針在一條直線上？

【解析】 根據題意可知，9點時，時針與分針成90度，第一次在一條直線上需要分針追90度，第二次在一條直線上需要分針追270度，答案為 （分）和 （分）

【例 7】 晚上8點剛過，不一會小華開始做作業，一看鐘，時針與分針正好成一條直線。做完作業再看鐘，還不到9點，而且分針與時針恰好重合。小華做作業用了多長時間？

【解析】 根據題意可知， 從在一條直線上追到重合，需要分針追180度， （分）

【例 8】 某人下午六時多外出買東西，出門時看手錶，發現表的時針和分針的夾角為110°，七時前回家時又看手錶，發現時針和分針的夾角仍是110°．那麼此人外出多少分鐘?

【解析】 開始分針在時針左邊110°位置，後來追至時針右邊110°位置．

於是，分針追上了110°+110°=220°，對應 格．所需時間為 分鐘．所以此人外出40分鐘．

評註：通過上面的例子，看到有時是將格數除以 ，有時是將格數除以 ，這是因為有時格數是時針、分針共同走過的，對應速度和；有時格數是分針追上時針的，對應速度差．對於這個問題，大家還可以將題改為:“在9點多鐘出去，9點多鐘回來，兩次的夾角都是110°,答案還是40分鐘．

【例 9】 上午9點多鐘，當鐘錶的時針和分針重合時，鐘錶表示的時間是9點幾分？

【解析】 時針與分針第一次重合的經過的時間為： （分），當鐘錶的時針和分針重合時，鐘錶表示的時間是9點 分。

【例 10】 小紅上午8點多鐘開始做作業時，時針與分針正好重合在一起。10點多鐘做完時，時針與分針正好又重合在一起。小紅做作業用了多長時間？

【解析】 8點多鐘時,時針和分針重合的時刻為： （分）10點多鐘時,時針和分針重合的時刻為： （分） ，小紅做作業用了 時間

【例 11】 小紅在9點與10點之間開始解一道數學題，當時時針和分針正好成一條直線，當小紅解完這道題時，時針和分針剛好第一次重合，小紅解這道題用了多少時間？

【解析】 9點和10點之間分針和時針在一條直線上的時刻為： （分），時針與分針第一次重合的時刻為： （分），所以這道題目所用的時間為： （分）

【例 12】 一部動畫片放映的時間不足1時，小明發現結束時手錶上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。這部動畫片放映了多長時間？

【解析】 根據題意可知，時針恰好走到分針的位置，分針恰好走到時針的位置，它們一共走了一圈，即 （分）

【例 13】 有一座時鐘現在顯示10時整。那麼，經過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經過多少分鐘，分針與時針第二次重合？

【解析】 根據題意可知，10點時，時針與分針成60度，第一次重合需要分針追360-60=300（度）， （分）第二次重合需要追360度，即 分。

【例 14】 鍾敏家有一個鬧鐘，每時比標準時間快2分。星期天上午9點整，鍾敏對準了鬧鐘，然後定上鈴，想讓鬧鐘在11點半鬧鈴，提醒她幫助媽媽做飯。鍾敏應當將鬧鐘的鈴定在幾點幾分上？

【解析】 鬧鐘與標準時間的速度比是62:60=31:30, 11點半與9點相差 150分， 根據十字交叉法，鬧鐘走了 150×31÷30=155(分),所以 鬧鐘的鈴應當定在11點35分上。

【例 15】 小翔家有一個鬧鐘，每時比標準時間慢2分。有一天晚上9點整，小翔對準了鬧鐘，他想第二天早晨6∶40起牀，於是他就將鬧鐘的鈴定在了6∶40。這個鬧鐘響鈴的時間是標準時間的幾點幾分？

【解析】 鬧鐘與標準時間的速度比是 58:60=29:30 晚上9點與次日早晨6點40分相差580分， 即 標準時間過了 580×30÷29=600(分),所以 標準時間是7點。

【例 16】 有一個時鐘每時快20秒，它在3月1日中午12時準確，下一次準確的時間是什麼時間？

【解析】 時鐘與標準時間的速度差是 20秒/時，因為經過12小時，時鐘的指針回到起始的位置，所以到下一次準確時間時，時鐘走了 12×3600÷20=2160(小時) 即 90天， 所以 下一次準確的時間是5月30日中午12時。

【例 17】 小明家有兩個舊掛鐘，一個每天快20分，另一個每天慢30分。現在將這兩個舊掛鐘同時調到標準時間，它們至少要經過多少天才能再次同時顯示標準時間？

【解析】 快的掛鐘與標準時間的速度差是 20分/天,慢的掛鐘與標準時間的速度差是 30分/天,快的每標準一次需要 12×60÷30=24(天),慢的每標準一次需要 12×60÷20=36(天),24與36的最小公倍數是 72,所以 它們至少要經過72天才能再次同時顯示標準時間。

【例 18】 某科學家設計了只怪鍾，這隻怪鍾每晝夜10時，每時100分。當這隻鍾顯示5點時，實際上是中午12點；當這隻鍾顯示6點75分時，實際上是什麼時間？

【解析】 標準鍾一晝夜是24×60=1440（分）,怪鍾一晝夜是100×10=1000（分）,怪鍾從5點到6點75分，經過175分，根據十字交叉法，1440×175÷1000=252（分）,即4點12分。

【例 19】 手錶比鬧鐘每時快60秒，鬧鐘比標準時間每時慢60秒。8點整將手錶對準，12點整手錶顯示的時間是幾點幾分幾秒？

【解析】 按題意，鬧鐘走3600秒手錶走3660秒，而在標準時間的一小時中，鬧鐘走了3540秒。所以在標準時間的一小時中手錶走3660÷3600×3540 = 3599（秒）即手錶每小時慢1秒，所以12點時手錶顯示的時間是11點59分56秒。

【例 20】 某人有一塊手錶和一個鬧鐘，手錶比鬧鐘每時慢30秒，而鬧鐘比標準時間每時快30秒。問：這塊手錶一晝夜比標準時間差多少秒？

【解析】 根據題意可知，標準時間經過60分，鬧鐘走了60.5分，根據十字交叉法，可求鬧鐘走60分，標準時間走了60×60÷60.5分，而手錶走了59.5分，再根據十字交叉法，可求一晝夜手錶走了59.5×24×60÷（60×60÷60.5）分，所以答案為24×60-59.5×24×60÷（60×60÷60.5）=0.1（分）0.1分=6秒

【例 21】 高山氣象站上白天和夜間的氣温相差很大，掛鐘受氣温的影響走的不正常，每個白天快30秒，每個夜晚慢20秒。如果在10月一日清晨將掛鐘對準，那麼掛鐘最早在什麼時間恰好快3分？

【解析】 根據題意可知，一晝夜快10秒，（3×60-30）÷10=15（天），所以掛鐘最早在第15+1=16（天）傍晚恰好快3分鐘，即10月16日傍晚。

【例 22】 一個快鍾每時比標準時間快1分，一個慢鍾每時比標準時間慢3分。將兩個鍾同時調到標準時間，結果在24時內，快鍾顯示9點整時，慢鍾恰好顯示8點整。此時的標準時間是多少？

【解析】 根據題意可知，標準時間過60分鐘，快鍾走了61分鐘，慢鍾走了57分鐘，即標準時間每60分鐘，快鍾比慢鍾多走4分鐘，60÷4=15（小時）經過15小時快鍾比標準時間快15分鐘，所以現在的標準時間是8點45分。

【例 23】 小明上午 8點要到學校上課，可是家裏的鬧鐘早晨 6點10分就停了，他上足發條但忘了對錶就急急忙忙上學去了，到學校一看還提前了10分。中午12點放學，小明回到家一看鐘才11點整。如果小明上學、下學在路上用的時間相同，那麼，他家的鬧鐘停了多少分？

【解析】 根據題意可知，小明從上學到放學一共經過的時間是290分鐘（11點減去6點10分）,在校時間為250分鐘（8點到12點，再加上提前到的10分鐘）所以上下學共經過290-250=40（分鐘），即從家到學校需要20分鐘，所以從家出來的時間為7：30（8：00-10分-20分）即他家的鬧鐘停了1小時20分鐘，即80分鐘。