斯托克斯公式

設

是具有邊界曲線

的有向曲面，

的邊界曲線

的正向這樣規定：使這個正向與有向曲面

的法向量符合右手法則．即當右手除大拇指外的四指依曲線

的繞行方向時，豎起的大拇指的指向與曲面

的法向量的指向一致．如此定向的邊界曲線

稱為有向曲面

的正向邊界曲線．

設

為空間的一條分段光滑的有向曲線，

是以

為邊界的分片光滑的有向曲面，

的正向與

的側符合右手法則．函數

在曲面

(連同邊界

)上具有連續的一階偏導數，則

稱為斯托克斯公式。 ^[2] 

首先證明

（1）

先假定用平行於z軸的直線穿過曲面

時只有一個交點。

的方向不妨取上側，它在xOy面上的投影區域為

，而

的邊界曲線

在xOy面上的投影即為

的邊界曲線L，且L的方向與

方向一致，如圖1所示．此時

的方程可寫為

.

設L的參數方程為

從而

的參數方程為

t的增大方向對應於

的正向，則由曲線積分計算法易於驗證

由格林公式得

另一方面，

的法向量

，設其單位法向量

，於是

從而

，因此

^[3] 

比較得到

若

的方向取下側，

也相應地改取相反的方向，那麼上式兩端同時改變符號，因此上式仍成立。

當曲面

與平行於z軸的直線的交點多於一個時，可通過分割的方法，把

分成幾部分，使每一部分均與平行於z軸的直線至多交於一點，然後分片討論，再利用第二型曲線積分的性質，同樣可證式(1)成立 。

同理可證：

(2)

(3)

將式（1），（2），（3）兩端分別相加即得斯托克斯公式。

為了便於記憶，斯托克斯公式也常用如下的行列式來表示：

式左端的行列式按第一行展開，並把

與

的乘積理解為

，

與

的乘積理解為

，其他類似，展開後的表達式就是斯托克斯公式的左端。

利用兩類曲面積分間的聯繫，可得斯托克斯公式的另一種形式如下：

其中

為有向曲面

的單位法向量。

當曲面

是面xOy上的一塊平面閉區域時，斯托克斯公式就變成格林公式．因此斯托克斯公式是格林公式從平面形式到空間形式的一個推廣。 ^[2]