斐波那契法

意大利數學家斐波那契，提出了一個著名的“兔子數列”，該數列從第3個數起，後面的每個數都是它前面那兩個數的和。如果把斐波那契數列的任何一項除以前一項，將會得到一個比值極限約為0.618，俗稱黃金分割點，因此斐波納契數列又稱黃金分割數列，用數列{Fn}表示，則有：

這個級數與大自然植物的關係極為密切。幾乎所有花朵的花瓣數都來自這個級數中的一項數字：菠蘿表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，它們的條數必須是這個級數中緊鄰的兩個數字（如左旋8行，右旋13行）；還有向日葵花盤等。直到最近的1993年，人們才對這個古老而重要的級數給出真正滿意的解釋：此級數中任何相鄰的兩個數，次第相除，其比率都最為接近0.618034……這個值，它的極限就是所謂的"黃金分割數"。斐波那契數列在許多科技領域都得到了應用 ^[1]  。

對閉區間[a，b]上的單峯函數f(t)，按相鄰兩斐波那契數之比，使用對稱規則進行搜索的方法。其特點是：逐步縮短所考察的區間，以儘量少的函數求值次數，達到預定的某一縮短率。設{F_n}是斐波那契數列，對於區間[0，1]，確定搜索次數n，則選擇兩點：

比較f(t₁)和f(t₂)，消去其中較小值所在的一段區間；在縮短後的搜索區間上，再作第二步迭代；如此繼續迭代下去，共做n次迭代，搜索區間長度縮短為1/F_n(使小於給定值)。1953年，美國數學家基弗(Kiefer，J.C.)首先研究用斐波那契數搜索一維函數f(t)的局部最大值 ^[2]  。

Fibonacci法計算步驟如下：

(1) 給定初始區間

和最終長度L。求計算函數值的次數n，使

，辨別常數

，計算試探點

和

，計算函數值

和

；

(2) 若

，則轉步驟(3)；若

，則轉步驟(4)；

(3) 令

，計算試點：

若k=n-2，則轉步驟(6)；否則，計算函數值

，轉步驟(5)；

(4) 令

，計算試點

：

若k=n-2，則轉步驟(6)；否則，計算函數值

，轉步驟(5)；

(5) 置k:=k+1，轉至步驟(2)；

(6) 令

，計算

和

；若

，則令

；若

，則令

。停止計算，極小點含於。

斐波那契法的流程圖如圖1所示：

斐波那契法有如下應用領域：

（1）可以用斐波那契數列的尋優方法來計算交流電機驅動系統的效率，該方法的突出特點是與損耗模型無關，並能使系統快速達到效率最人工作點。

（2）從運籌學的斐波那契法來論述波浪理論，也可以從斐波那契法的最優分劃點來掌握波浪理論中的最佳投資。