數字邏輯

人們常説“進入了數字時代”，這裏的“數字”，並非日常生活中常用的代表數量的數字，而是由“數字電路”中的“數字”的含義引申而來的。從數字（集成）電路的出現到計算機到網絡到今天的移動互聯網，數字電路是所有現代信息技術的基礎。從這個角度，“數字時代”就是“信息社會”的意思。

那麼數字電路的基礎又是什麼呢？就是數字邏輯。所有數字系統都是基於數字邏輯來設計的，而數字邏輯設計的數學基礎是布爾代數，數字電路的設計所有行為都必須符合布爾代數的原理。布爾代數是19世紀英國數學家喬治.布爾（George Boole）創立的，它是一種描述客觀事物邏輯關係的數學方法，是從哲學領域的邏輯學發展而來的。因此數字電路中的邏輯表達式也叫布爾表達式。數字電路最基礎的設計方法“真值表法”，就是在推算各種布爾表達式的值。我們觀察一下生活中的邏輯，會發現有很多對立的二元值，比如真假、對錯、開關、有無，而布爾研究發現，任何複雜的邏輯，都可以用“與”、“或”、“非”三種最基本的邏輯組合變化而來。在計算機或者嵌入式系統裏面，if-then-else更是所有編程語言都要用到的語句。因此我們可以將邏輯運算歸結為三個操作、兩個結果。三個操作就是“與或非”，兩個結果在數字邏輯裏面就是0和1。這正好跟數字電路的高、低兩個電平相對應；也與晶體管的開、關相對應。這就是為什麼集成電路在數字領域得到蓬勃發展的原因。在數字系統中，任何數字和文本、聲音、圖形圖像等複雜信息都可以用二進制的數字化代碼來表示的。比如0001100代表字母A，1010101代表字母Z；MP3是用二進制記錄聲音的一種格式（標準）；H.264是用二進制記錄視頻的一種格式（標準）；等等。

晶體管適合製造大規模集成電路，CMOS晶體管擅長二值處理，數字邏輯為二值，這幾個因素綜合在一起的結果就是數字集成電路普遍採用二進制。而除了邏輯運算之外，二進制同樣需要做數值的運算，這跟十進制的運算沒有本質的差別，只是表達方式不同，比如3+4=7，二進制運算可表示為011+100=111，藉助於各種代碼表示和編碼方式，二進制同樣可以方便地完成各種數值運算，比如通過二進制的補碼，可以把減法轉化為電路實現較為簡單的加法來實現，這也是數字系統中多采用補碼的原因。從加法器的電路，可以看出，加法這個數值運算，最終還是體現為邏輯運算，為各個邏輯電路的組合。可見，儘管構成邏輯代數系統的元件極為簡單，卻能描述數字系統中任何複雜的邏輯電路。另外布爾代數還有一些公理如交換律、吸收率、分配律、結合律等等，數字電路設計中經常根據這些公理來做電路的變換和優化，以達到提高性能或節省面積、降低功耗的目的。