拉梅方程

在數學中，拉梅函數（或橢球諧波函數）是拉梅方程（二階常微分方程）的解。 它在論文（加布裏埃爾·拉梅1837）中介紹。 拉梅方程出應用於橢圓座標中拉普拉斯方程的變量分離方法中。在一些特殊情況下，可以用稱為拉梅多項式的多項式來表示解。 ^[1] 

拉梅方程的等式如下：

其中A和B是常數，

是魏爾斯特拉斯(Weierstrass)橢圓函數。 最重要的情況是當

和

對於整數n和k的橢圓模，在這種情況下，解擴展到在整個複平面上定義的擬態函數。對於B的其他值，解具有分支點。

通過用

將獨立變量更改為t，拉梅方程也可以以代數形式重寫為

經過變化之後變成了亨恩方程的特例。

拉梅方程的更一般形式是可以寫入的橢圓方程或橢圓波方程（觀察我們寫的是

，而不是上面的A）。

其中k是雅可比橢圓函數的橢圓模量，

是常數。 對於

，方程式成為具有

的拉梅方程。對於

方程簡化為Mathieu方程

拉梅方程的威爾斯特拉斯式非常不適合於計算。方程式最合適的形式是以雅可比形式。代數和三角形的使用也很麻煩。拉梅方程出現於量子力學中，作為關於各種週期性和非調諧電位的Schrödinger方程的經典解的小波動方程。 ^[2] 

Müller已經獲得了對於κ的大值的週期性橢圓波函數的漸近展開，以及拉梅方程的漸近展開。他對於特徵值

獲得的漸近展開是，q近似為一個奇整數（並且由邊界條件更準確地確定）：

觀察條件在q和k（如Mathieu函數的相應計算，扁圓球形波函數和扁圓球形波函數）中交替。具有以下邊界條件（其中K（k）是由完整橢圓積分給出的四分之一週期）

以及導數

分別定義橢球波函數

這裏的上標是指Ec的解，而較低的解Es。最後在q₀擴展

，會得到：

在Mathieu方程的極限中，這些表達式減少到Mathieu情況的相應表達式。 ^[3]