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快速小波變換
鎖定
- 中文名
- 快速小波變換
- 外文名
- Fast wavelet transform
快速小波變換定義
快速小波轉換它具有有限生成的正交多分辨分析(MRA)的裝置作為理論基礎。在那裏給出的術語中,選擇採樣率為每單位間隔2J的採樣比例J,並將給定信號f投影到空間
其中
是所選小波變換的縮放函數;實際上,在信號被高度過採樣的情況下,通過任何合適的採樣程序,所以
MRA的特徵在於其縮放序列
快速小波變換前項離散小波轉換
一個遞歸計算,從係數序列
開始並從k = J-1倒計數到某個M <J,
下采樣運算符(↓2)減少了一個無限序列,由其Z變換(簡稱為Laurent級數)給出了具有偶數索引的係數序列
。
加星標的Laurent多項式
表示伴隨濾波器,它具有時間反轉的伴隨係數
(實數的伴隨是數字本身,它是一個複數的共軛,是一個實矩陣的轉置矩陣,是一個複雜矩陣的偶然伴隨)。
乘法是多項式乘法,相當於係數序列的卷積。
它遵循
是原始信號f或至少第一近似值
到子空間的正交投影
,即每單位間隔採樣率為2k。與第一近似的差異由下式給出:
用
表示小波變換的母小波。
快速小波變換離散小波變換
信號x的DWT通過將其傳遞給一系列濾波器來計算。首先,樣本通過一個脈衝響應g的低通濾波器,導致兩者卷積:
使用高通濾波器h同時分解信號。 輸出給出細節係數(來自高通濾波器)和近似係數(來自低通)。重要的是兩個濾波器彼此相關,它們被稱為正交鏡像濾波器。
然而,由於信號的一半頻率現已被刪除,根據奈奎斯特的規則,可以丟棄一半的樣本。然後,上圖中的低通濾波器g的濾波器輸出被2進行二次採樣,並通過再次通過新的低通濾波器g和傳遞濾波器h,其截止頻率是前一個截止頻率的一半,即:
這種分解使時間分辨率減半,因為每個濾波器輸出只有一半表徵信號。但是,每個輸出都有輸入頻帶的一半,因此頻率分辨率增加了一倍。
使用子採樣運算符↓
然而,計算完整的卷積
以及隨後的下采樣會浪費計算時間。提升方案是這兩個計算交錯的優化。
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