微分幾何

《微分幾何》共10章，第1章～第5章為第一部分，系統講述了三維歐氏空間中曲線、曲面的局部幾何理論和曲面的內藴幾何學，這部分內容可作為數學專業本科生微分幾何必修課教材；第6章～第10章為第二部分，介紹有關曲面整體理論的一些基本結果，是整體微分幾何一些經典問題選講，它涉及數學的其它領域，可作為高年級本科生的專業課教材或課外閲讀材料。 ^[1] 

第一部分 曲線與曲面的局部微分幾何

第一章 歐氏空間

1.1 向量空間

1.2 歐氏空間

第二章 曲線的局部理論

2.1 曲線的概念

2.2 平面曲線

2.3 E的曲線

2.4 曲線論基本定理

第三章 曲面的局部理論

3.1 曲面的概念

3.2 曲面的第一基本形式

3.3 曲面的第二基本形式

3.4 法曲率與weingarten變換

3.5 主曲率與Gauss曲率

3.6 曲面的一些例子

第四章 標架與曲面論基本定理

4.1 活動標架

4.2 自然標架的運動方程

4.3 曲面的結構方程

4.4 曲面的存在惟一性定理

4.5 正交活動標架

4.6 曲面的結構方程（外微分法）

第五章 曲面的內藴幾何學

5.1 曲面的等距變換

5.2 曲面的協變微分

5.3 測地曲率與測地線

5.4 測地座標系

5.5 Gauss-Bonnet公式

5.6 曲面的Laplace算子

5.7 Riemann度量

第二部分 整體微分幾何選講

第六章 平面曲線的整體性質

6.1 平面的閉曲線

6.2 平面的凸曲線

第七章 曲面的若干整體性質

7.1 曲面的整體描述

7.2 整體的Gauss-Bonnet公式

7.3 緊緻曲面的Gauss映射

7.4 凸曲面

7.5 曲面的完備性

第八章 常Gauss曲率曲面

8.1 常正Gauss曲率曲面

8.2 常負Gauss曲率曲面與sine-Gordon方程

8.3 Hilbert定理

8.4 Backlund變換

第九章 常平均曲率曲面

9.1 Hopf微分與Hopf定理

9.2 Alexsandrov惟一性定理

9.3 附錄：常平均曲率環面

第十章 極小曲面

10.1 極小圖

10.2 極小曲面的weierstrass表示

10.3 極小曲面的Gauss映射

10.4 面積的變分與穩定極小曲面

索引

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